Линейная алгебра. Матрицы

1. Основы линейной алгебры

2. Матрицы

3.

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица
чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде:
a11
a21
A
a
m1
a12
a22
a m2
a1n
a2 n
amn
А
или
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
am1
amn
a m2
Сокращенно матрица А записывается в виде:
A аij
или
A аij
где i 1 i m указывает номер строки, а j 1 j n номер столбца.

4.

Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается через О.
0
0
О
...
0
0 ... 0
0 ... 0
... ... ...
0 ... 0

5.

Единичная матрица Е – это диагональная матрица, в
которой все элементы главной диагонали равны
единице, т.е.
aii 1, i
1
0
E 0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

6. Пример

2 3 0
А
1 5 6
0 1 4
B
1 5 1
2 4 4
С А B
2 0 7

7. Пример

2 3 0
А
1 5 6
С 1 0 1 2
0 3 12
3 А
3 15 3
2 С 2 0 2 4

8. Пример

Вычислить 4А - 3B, если
2 3 0
А
1 5 6
0 1 4
B
1 5 1
Решение: 4А - 3B = 4А + (-3)B
2 3 0
0 1 4
( 3)
4
1 5 6
1 5 1
0 0 3 12 8 9 12
8 12
4 20 24 3 15 3 1 35 21

9. 4. Умножение матриц

Опр. 17. Произведение матрицы А на матрицу В, определено тогда и
только тогда, когда число столбцов первой матрицы А
совпадает с числом строк второй матрицы В, и в этом
случае матрица А называется согласованной с матрицей В
для умножения.
Если
Am n (aij ), Bn k (bij ),
тогда
Аm n Bn k Cm k
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... ainbnj ,
i 1,..., m; j 1,..., k
Итак, элемент i-той строки и j-го столбца матрицы произведения С равен
сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на
соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

10. Найти произведение матриц АB и BA

Пример
Найти произведение матриц АB и BA
1 2
2 1 3
B
А
0 0 1
3 4
Решение:
Произведение матриц АB существует, т.к. матрица А имеет размерность 2х2,
а матрица B – 2х3, и число столбцов матрицы А совпадает с числом строк
матрицы B.
с11 = 1·2+2 ·0 = 2
Произведение матриц BA не существует.
с12 = 1·1+2 ·0 = 1
с13 = 1·3+2 ·1 = 5
с21 = 3·2+4 ·0 = 6
с22= 3·1+4 ·0 = 3
5
с23= 3·3+4 ·1 = 13
1 2 2 1 3 2 1
С АB
3
4
0
0
1
6
3
13

11. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

12.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно
пользоваться правилом треугольников или
правилом Сарруса.
«+»
« »
a11 a12
a21 a22
a13
a23
a31
a33
a32

13. Пример

Вычислить определители матриц:
det A 3 3
det B
1 2
4
1 0
3
1 3 ( 2) 4 11
2
det C 1 4 1 1 4 0 1 0 2 0 ( 1) 2
2 0
0
2 4 2 0 ( 1) 1 1 0 0 16

14.

Опр.2. Минором элемента aij матрицы
n-го
порядка A
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка,
полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки
и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
Минор элемента aij обозначается Мij
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
M11
M 12
a22
a23
a 32
a 33
a21
a23
a 31 a 33
a22 a33 a23 a32
a21 a33 a23 a31
лат. minor - меньший

15. Пример. Найти миноры M11, M32, M43

2
2
A
1
2
0 1 0
3 1 4
0 0 1
0 1 2
2
2
A
1
2
0 1 0
3 1 4
0 0 1
0 1 2
2
2
A
1
2
0 1 0
3 1 4
0 0 1
0 1 2
3 1 4
M 11 0 0 1
0 1 2
2
1 0
M 32 2 1 4
2 1 2
2 0 0
M 43 2 3 4
1 0 1

16.

Опр.4. Алгебраическим дополнением элемента аij матрицы n-го
порядка А называется число, равное (-1)i+jMij и
обозначаемое символом Аij:
Аij = (-1)i+jMij
где i=1, 2, … n; j=1, 2, …, n.
Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров
строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма
номеров строки и столбца – нечетное число.
A11 1 M 11 M 11
A22 M 22
A12 1 M 12 M 12
A21 M 21
1 1
1 2

17.

Определитель n-го порядка матрицы Аn равен сумме
произведений элементов любой строки (или столбца)
на их соответствующие алгебраические дополнения.
a11
a21
...
det A
ai1
...
a12
a22
an1
an 2
ai 2
a13 ...
a23 ...
...
ai 3 ...
...
a1 j
a2 j
an 3
anj
...
aij
... a1n
... a2 n
...
... ain
...
... ann
для строки:
= ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +…+aij Aij +…+ ain Ain , (i = 1;2;…;n);
для столбца:
=a1j A1j +a2j A2j +..+ aij Aij +…+ anj Anj , (j = 1;2;…;n).

18. Пример

1 0 2
A 1 4 1
2 0 0
По 2-ой строке:
1 0
2
det A 1 4 1 1 A21 4 A22 ( 1) A23
2 0
1 ( 1)
2 1
0
0 2
0 0
4 ( 1)
2 2
1 2
2 0
( 1) ( 1)
2 3
1 0
2 0
16

19. Пример

1 0 2
A 1 4 1
2 0 0
По 3-му столбцу:
1 0
2
det A 1 4 1 2 A13 ( 1) A23 0 A33
2 0
1 3
2 ( 1)
1 4
2 0
0
( 1) ( 1)
2 3
1 0
2 0
0 ( 1)
3 3
1 0
1 4
16

20.

Определитель n-го порядка треугольной матрицы
равен произведению элементов главной диагонали.
a11
a12 a1n
a11
0
a22 a2 n
0
0
ann
0
a21
a22
0
an1
a n 2 ann
0
a11a22 ann
Определитель n-го порядка единичной матрицы E
равен 1.

21. Ранг матрицы

22.

Элементарными
преобразования
матрицы
называются :
1. Транспонирование (замена строк столбцами)
2. Перестановка строк и столбцов.
3. Умножение некоторой строки (столбца) на
число, отличное от нуля.
4. Прибавление ко всем элементам строки
(столбца) соответствующих элементов другой
строки (столбца), умноженных на некоторое
число.

23. Теорема о ранге матрицы

24. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

25.

Опр. 1. Матрица А-1 называется обратной для
квадратной матрицы А, если
АА-1 = А-1А = Е
Матрицы А и А-1 взаимно-обратны (А-1)А = А

26.

Всякая невырожденная матрица Аn имеет
обратную матрицу А-1, причем
А11
1 А12
1
А
А ...
A
1n
Аn1
... Аn 2
... ...
... Ann
А21 ...
А22
...
A2 n
где Аij – алгебраические дополнения
элементов aij (i=1, …, n; j=1, …, n)матрицы А.

27. Пример

Найти матрицу, обратную к данной:
1 2
А
3 4
Решение:
Т.к. |А|=-2≠0, то матрица А – невырожденная и имеет обратную матрицу.
Находим алгебраические дополнения Aij:
1 1
А11 ( 1)
1 2
А12 ( 1)
4 4
3 3
А21 ( 1)2 1 2 2
А22 ( 1)2 2 1 1
Вычислим обратную матрицу (Т.2):
1
1 4 2 2
А
2 3 1 1,5 0,5
1
Для проверки правильности вычисления обратной матрицы необходимо убедиться
в выполнении равенства: АА-1=Е.

28. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

29.

m
Опр. Системой
линейных уравнений с
(СЛУ) называется система уравнений
n неизвестными
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm .
где x1, x2, … xn – неизвестные, подлежащие определению;
числа aij, i=1, 2, … m; j=1, 2, ..n называются коэффициентами
системы, а числа bi - ее свободными членами.
Число уравнений системы не обязательно совпадает с числом
неизвестных, возможны следующие случаи:
m>n , m=n , m<n.

30.

Опр. Матрица А составленная из коэффициентов
СЛУ называется основной матрицей системы.
Аm n
a11 a12
a21 a22
... ...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

31.

Опр. Матрицы X и B называются матрицы-столбцы
неизвестных и свободных членов.
x1
b1
x2
b2
X , B .
x
b
n
n

32.

Матричная форма записи СЛУ:
АX B

33. Пример. Записать в матричной форме

2 x1 3x 2 x 3 0,
x x 3,
1
3
x
2
x
0
,
1
2
x1 3x 2 x 3 4
33

34. Решение

Обозначим
2 3 1
1 0 1
A
,
1 2 0
1 3
1
x1
X x2 ,
x
3
Следовательно, имеем AX = B.
0
3
B
0
4

35.

Рассмотрим частный случай неоднородной системы,
когда m=n, т.е. систему вида
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
...
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
Определитель |А| основной матрицы системы
A
a11
a12
... a1n
a21
a22 ... a2 n
...
an1
... ... ...
an 2 ... ann
0.
В этом случае система
линейных уравнений
называется невырожденной.

36. Пример. Решить систему

x1 2 x2 x3 1;
3 x1 x2 2 x3 0;
x 4 x 3 x 2.
2
3
1
или AX B, где
1
A 3
1
2
1
4
1
x1
1
2 , X x2 , B 0 .
x
2
3
3

37. Решение.

Найдем А .
1
A 3
1
2
1
1
2
1
2 0
7
4
3
2
0
1
1 1
1 1 ( 1)
4
7
1
2
4
28 2 30 0.
т.е. исходная система трех неоднородных линейных уравнений с
тремя неизвестными имеет единственное решение.
Найдем единственное решение системы матричным методом
Х=А-1В.
Найдем теперь обратную матрицу А-1, для этого найдем
алгебраические дополнения:

38.

1 1
A11 ( 1)
1 2
4 3
1 3
A13 ( 1)
A22 ( 1)
2 2
A31 ( 1)
3 1
A33 ( 1)
3 3
5
3 1
1
4
1 1
1
3
2 1
1
1
2
2
3 1
A12 1
1 2
13 A21 ( 1)
4
5
7
A23 ( 1)
A32 ( 1)
3 2
1
2 1
2 3
3 2
3
2 1
4
11
3
1 2
1 4
10
2
1
1
3
2
1

39.

Следовательно, обратная матрица равна
1
5 10 5 6
11
1
1
A 11
4 1
30
30
13
2
7
13
30
1
3
2
15
1
15
1
6
1
30
7
30

40.

Найдем теперь решение системы
1
6
11
X
30
13
30
1
3
2
15
1
15
1
1
6 1 6
1 13
0
30 30
7 2 1
30
30

41. Проверка

13 1
1
1 1.
6 2 30 30 1,
1 13
1
3 2 0, 0 0.
6 30
30
13
1
1
2 2.
6 4 30 3 30 2,
решение системы найдено верно.
1 13 1
Ответ : ( ; ; ).
6 30 30

42. Правило Крамера

Согласно правилу Крамера, если |A| ≠ 0, то единственное
решение СЛУ вычисляется по следующим формулам:
x1
A1
A
; x2
A2
A
или кратко x j
;...; xn
Aj
A
An
A
( j 1,2,..., n).
Определители |A|j получаются из определителя |A| заменой
j-го столбца столбцом свободных членов.

43.

Найдем теперь решение системы по правилу Крамера
x1
A1
A
, x2
1 2 1
A1 0 1
2 4
A2
A
, x3
A3
A
, где
1 2 1
2 0 1
2 5;
3
5
0 0
1 1 1
1 1 1
2
1 2 3
A 2 3 0 2 3 0 2 1 ( 1)
13;
1 5
1 2 3
1 0 5
1 2 1
1 2 1
1
1 3 3
A 3 3 1 0 3 1 0 1 ( 1)
1
1 0
1 4 2 1 0 0
Итак,
5 1
13
1
x1
, x2 , x3 .
30 6
30
30

44. МЕТОД ГАУССА

45.

Элементарными
называются
следующие
преобразования системы:
1. Перестановка местами двух уравнений системы.
2. Умножение некоторого уравнения системы на
число, отличное от нуля.
3. Прибавление к одному уравнению системы
другого
её
уравнения,
предварительно
умноженного на некоторое число.
4. Изменение порядка следования неизвестных.

46. Пример. Решить систему

x1 + 2 x 2 - x 3 = 1;
3x1 + x 2 + 2 x 3 = 0;
x1 + 4 x 2 + 3x 3 = 2.