Предел функции в точке
Одна и та же кривая, три разные функции
Вычисление пределов функции
Вычисление пределов
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей
Первый замечательный предел
Выполнить задания
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции на бесконечности.
Использованная литература
4.96M
Категория: МатематикаМатематика

Предел функции в точке

1. Предел функции в точке

2. Одна и та же кривая, три разные функции

10.02.2017
Отличие – поведение в точке х = а
f(a) – не существует,
т.к. в точке х =а
функция у = f(х) не
определена
f(a) существует, но
отличается от b
f(a) = b
2

3.

Определение. Функцию у = f(х) называют
непрерывной в точке х = а, если выполняется
соотношение
Функцию у = f(х) называют непрерывной на
промежутке Х, если она непрерывна в каждой
точке промежутка.
Если выражение f(х) составлено из рациональных,
иррациональных, тригонометрических и
обратных тригонометрических выражений, то
функция у = f(х) непрерывна в любой точке , в
которой определено выражение f(х).
10.02.2017
3

4. Вычисление пределов функции

10.02.2017
Правила вычисления пределов.
Если
,
, то
1. Предел суммы равен сумме пределов.
+
= b+c
2. Предел произведения равен произведению пределов
=b•c
3. Предел частного равен частному пределов (с 0)
= b/c
4.
4

5. Вычисление пределов

Вычисление предела:
lim f ( x ) A
x x0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

6. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов
в этом случае называется раскрытие неопределенности.

7.

10.02.2017
7

8. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
lim
x 0
Если f(x) – дробно –
рациональная функция,
x 1 1 x 1 1
0 на
x 1 1
необходимо разложить
lim Если f(x) – иррациональная
множители числитель
и x 0 дробь, необходимо умножить
0
x
x x 1 1
знаменатель дроби
числитель и знаменатель дроби
x 1 1
на1выражение,1сопряженное
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
x x 1 1
x 1 1 2

9. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2
2x
3x 1
2 2
2
2x 2 3 x 1
x
x
x
lim 2
lim
x
x 4 x 2
4 x 2x 5
2x 5
2 2
2
x
x
x
3 1
2 2
C
2 0 0 1
x
x
lim
f(x) – дробно
0 –
Если
x
2 5 рациональная
4 0 0 2
функция
или
4 2 иррациональная
дробь
x необходимо
x
разделить числитель
и знаменатель дроби на x в
старшей степени

10. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2
2
lim
x
1
x
1
x
lim
x
lim
x
x 1 x 1
2
2
Умножим
2
2
0
и разделим функцию
1сопряженное
)
на
выражение.
x 1 x 1
2
2
x2 1 x2 1
( x 1) ( x
2
x 1 x 1
2
2
lim
x
2
x 1 x 1
2
2

11. Первый замечательный предел

sin 2 x
1 cos 4 x 0 lim 2 sin 2x 2 lim
2
x
0
lim
x 0
x
2
x
x 0
0
x
2
2
sin 2 x
2 sin 2 x
2 lim
2 lim
x 0
x 0
x
2x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2

12. Выполнить задания

10.02.2017
• В классе:
• №39.23(а,б)№39.25(а,б);
• № 39.29(а,б)
Дома:
№39.23(в,г);
№ 39.27(в,г);
№39.29(в)
12

13. Предел функции на бесконечности.

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции
содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на
математическом языке:
Будем читать наше
выражение как:
предел функции y=f(x) при x
стремящимся к плюс
бесконечности равен b

14. Предел функции на бесконечности.

Предел функции на минус бесконечности
Посмотрим немного другой случай:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции
содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной
асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на
математическом языке:
Будем читать наше
выражение как:
предел функции y=f(x) при x
стремящимся к минус
бесконечности равен b

15. Предел функции на бесконечности.

Предел функции на бесконечности
Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:
Тогда принято записывать как:
или
предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

16. Предел функции на бесконечности.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) f(x)- непрерывная функция
3)
4)
Решение:
Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞).
Покажем пару примеров нашей функции.

17. Предел функции на бесконечности.

Основные свойства.
Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими
утверждениями:
1) Для любого натурально числа m справедливо следующее
соотношение:
2) Если
то:
а) Предел суммы равен сумме пределов:
б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

18. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x.
Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:
Получим:
Ответ:

19. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к
бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

20. Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к
бесконечности.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.
Воспользуемся свойствами предела на бесконечности
Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

21. Предел функции на бесконечности.

1) Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой
что предел при x стремящимся к плюс бесконечности
равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
2) Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой
что предел при x стремящимся к плюс бесконечности
равен 5 и функция возрастает.
3) Найти пределы:
4) Найти пределы:

22. Использованная литература

• Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и
начала математического анализа.
Профильный уровень». 10 класс.
22
English     Русский Правила