Погрешности приближённых вычислений. (Лекции 1-2)

1.

Лекция 1. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Погрешность задачи
неустранимая (безусловная)
Погрешность метода
связана со способом решения задачи
(относится к устранимой или условной)
Погрешность округлений
в вычислительном эксперименте всегда
используются числа с определённой
точностью
1

2. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Значащими называются все цифры в
записи числа, кроме нулей перед
отличающейся от нуля цифрой.
Примеры:
число 284 - три,
число 0,34 – две,
число 0,005706 – четыре значащие
цифры
2

3. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Правила округления:
1. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше пяти, то
оставшиеся цифры не изменяются.
Например, 0,51328≈ 0,5; 0,51328≈ 0,51; 0,51328≈ 0,513.
2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равно
пяти, причем все последующие цифры больше нуля, то цифра
младшего из сохраняемых разрядов увеличивается на единицу.
Например, 0,57862≈0,6; 0,57862≈0,58; 0,57862≈0,579;
0,58652≈0,6 ; 0,58652≈0,587.
3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов равна пяти, и
хотя бы две из последующих за ней цифры равны нулю или
неизвестны, то цифра младшего из сохраняемых разрядов не
изменяется, если она чётная, и увеличивается на единицу, если она
нечётная.
3
Например, 0,285004≈0,28; 0,355002≈0,36.

4. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Погрешность метода подчиняют погрешности
задачи
Погрешность округлений должна подчиняться
погрешности метода
Вычислять следует с числом значащих цифр, на
единицу превышающих их число в исходных
данных, с тем, чтобы относительная
погрешность результата вычислений была бы на
порядок (в 10 раз) меньше погрешности исходных
данных.
4

5. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

5

6. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

6

7. Формулы приближённой оценки погрешностей

7

8. Правила оценивания погрешностей

8

9. О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

n
x1 x2
1
x1
u x1 x2 ... xn ; u xi xi ; u ; u
x1 x2
x2
x1
x2
i 1 xi
i 1
n
x x ... x
1
2
n
x1 x2 ,,, xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x x
1
2
x1 x1 x2 x2 ... xn
x1 x2 ... xn
x1 x2
x1 x2
;
x1 x2
x1 x2
x1 x2 ... xn
,
x1 x2 ... xn
x1 x2 0 x x
1
обратная задача теории погрешностей
y
f x
2
max x
i
xi f u xi f1 u
1) принцип равных влияний
u
u
u n
xi xi
xi
u
n
xi
2) равенство относительных погрешностей всех аргументов
n
xi
u
9
xi
p xi p xi u p
xi
xi
i 1 xi
y f x y dy f x x x

10. Статистический и технический подходы к учёту погрешности действий

n 10
все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда
правило Чеботарёва
S 3n 0,5 10 m
n
n
1
1
1
m
Пример x
x
;
0,5
x
n 0,5 10 m 0,5 10 m xi ;
i
xi
x
xi
n i 1
n i 1
n
xi
1
3
3
3n 0,5 10 m
0,5 10 m
xi
n
n
n
n
0
Принцип А.Н.Крылова:
приближённое число должно записываться так, чтобы в нём все значащие
цифры, кроме последней были верны и лишь последняя была бы
сомнительна, и притом в среднем не более чем на одну единицу
10

11. ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
........................... .. ..
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
Ax b, A ai , j , b b1 , b2 ,..., bn , x x1 , x2 ,..., xn
T
T
формула Крамера
xi
Метод Гаусса
det Ai
,
det A
i 1,2,..., n; n ;
x A 1b
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 ,
a22
x2 a23
x3 ... a2 n xn b2 ,
1
1
1
1
...............................
an 2 x2 an 3 x3 ... ann
xn bn , aij aij
1
1
1
1
1
ai1
a
1
a1 j ; bi bi i1 b1 , i, j 2,3,..., n; n
a11
a11
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
1
1
1
k 1
k 1
a22
x2 ... a2 n xn b2 ,
a
a
k
k 1
k 1
k
k 1
k 1
aij aij ik k 1 akj , bi bi ik k 1 bk
....................
akk
akk
n 1
n 1
11
a
x
b
.
nn
n
n

12. Метод Гаусса

обратный ход метода Гаусса
bn
xn n 1 ;
ann
n 1
.............
b2 a23
x3 ... a2 n xn
x2
;
1
a22
1
x1
1
1
1 k 1
xk k 1 bk
akk
n
j k 1
akj
k 1
xj
b1 a12 x2 ... a1n xn
.
a11
a11 a12 ... a1n
det A
1
0 a22
... a2 1n
..............
1
n 1
a11 a22
a ... ann
n 1
0 0 ...ann
определитель матрицы равен произведению всех так называемых
ведущих элементов при её преобразовании методом Гаусса.
12

13. Итерационные методы

Метод простых итераций
Ax b x Bx c
x k 1 Bx k c, k 0,1, 2, ....
x
0
x1 , ..., xn
0
0
T
метод простой итерации
Необходимое и достаточное условие сходимости
1
eii 1, i 1,2 ,...,n
det B E 0, E
eii 0, i j, i,j 1,2,..., n
13

14. Итерационные методы

Метод Якоби
Ax b A L D R Lx Dx Rx b
x D
1
L R x D 1b
x Bx c; B D 1 L R , c D 1b
x k 1 D 1 L R x k D 1b , k 0,1, 2,...
D aii ,
14

15. Методы решения систем нелинейных уравнений

f1 x1 , x2 ,..., xn 0,
f1 x f1 x1 , x2 ,..., xn
x1
0
0
x
f
x
f
x
,
x
,...,
x
f 2 x1 , x2 ,..., xn 0,
2
2
2
1
2
n
(20) x , F x
, 0 F x 0.
...
...
......
................
....................
f x , x ,..., x 0,
x
0
n
n
f n x f n x1 , x2 ,..., xn
n 1 2
x1 1 x1 , x2 ,..., xn ,
1 x 1 x1 , x2 ,..., xn
x2 2 x1 , x2 ,..., xn ,
2 x 2 x1 , x2 ,..., xn
(21) x x , x
......
................
.....................
x x , x ,..., x ,
x x , x ,..., x
n
n
1
2
n
n
n
n 1 2
Метод простых итераций
x
k 1
,
x
k
k 0,1,2,...x
0
0
0
x1 ,..., xn
T
15

16. Методы решения систем нелинейных уравнений

Метод покоординатных итераций (метод Зейделя)
x1 k 1 1 x1 k , x2 k ,..., xn k 1 , xn k ,
k 1
k 1 k
k k
x2 2 x1 , x2 ,..., xn 1 , xn ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x k 1 x k 1 , x k 1 ,..., x k 1 , x k .
n
1
2
n 1
n
n
(20) (21) AF x 0 x x x AF x
A ? x x AF x
x x Ak F x , k 0,1,2,... x
Простые итерации
k 1
,
x A k F x
k
k
k 0,1,2,... (23)
x k x x Ak F x
16

17. Методы решения систем нелинейных уравнений

Метод Ньютона
A k F x
k
f1
f1 f1
...
x x
xn
1
2
f 2 f 2
f 2
1
...
, F x J x x1 x2
xn
.................
f
f
f
n n ... n
x x
xn
2
1
Явная формула Ньютона
A k (23) x
F x
x
k 1
k
x
k 1
x
x p
k
k
k
k 1
x
k
F x
k
F x k
F x , F x p F x ,
F x F x x x 0
k
k
k
k
k
1
k
p
k
k
k
k
p1 , p2 ,..., pn
T
k
17

18. Методы решения систем нелинейных уравнений

модифицированному метода Ньютона
x
k 1
x
k
F x
0
F x
1
k
модифицированный метод Ньютона даёт двухступенчатый процесс
z k x k A k F x k ,
1
k k
Ak J x , h
k 1
k
k
z Ak F z ,
x
h j x j
k
k 1
x j ,
k 1
x , x
0
x B x , x
k
x
k
1
k
k
J x , h k F x
j 1,..., n, k 1,2,...
k
двухшаговый метод
x
x
k 1
k
k 1
F x , B x , h
1
k
k
k 1
fi x1 ,..., x j
k
k 1
,..., xn
k
x j
f x ,..., x ,..., x
k 1
k
i
x j
1
k
j
k
n
k
1
18

19. Интерполяция

Полиномиальная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа
a, b x0 , x1,..., xn
a x0 ... xn b
y f x
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn
x0 , x1 ,..., xn
x
y f x
называется интерполирующей или интерполяционной для функции
узлы интерполяции
Pn xi yi
x y x
i 0,1,..., n ; Pn x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
a0 a1 x0 a2 x02 ... an x0n y0 ,
2
n
a0 a1 x1 a2 x1 ... an x1 y1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a x a x 2 ... a x n y .
2 n
n n
n
0 1 n
19

20. Интерполяция

базисные многочлены Лагранжа
n
c l x ,
i 0
i i
li x , i 0,1,..., n
0, åñëè j i
li x j ij
... j , i 0,1,..., n
1, åñëè j i
x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn
li x
,
x
x
x
x
...
x
x
x
x
...
x
x
i 0 i 1 i i 1 i i 1 i n
li x
x x x x
n
j 0, j i
j
i
j
x x0 x x1 ... x xi 1 x xi 1 ... x xn
Ln x
yi ;
x
x
x
x
...
x
x
x
x
...
x
x
i 0 i
0 i
1 i
i 1 i
i 1 i
n
n
n
Ln x x x j
i 0
j 0, j i
n
x
x
i j
20

21. Интерполяция

базисные многочлены Лагранжа
n 1, l0 x
x x0
x x0
x x1
x x1
, l1 x
, L1 x
y0
y1
x0 x1
x1 x0
x0 x1
x1 x0
x x1 x x2
x x0 x x2
x x0 x x1
, l1 x
, l2 x
x0 x1 x0 x2
x1 x0 x1 x2
x2 x0 x2 x1
x x1 x x2
x x0 x x2
x x0 x x1
L2 x
y0
y1
y2
x0 x1 x0 x2
x1 x0 x1 x2
x2 x0 x2 x1
n 2, l0 x
f x L1 x
f x L2 x
формулами линейной интерполяции
формулами квадратичной интерполяции
21