Оценка математического ожидания и дисперсии отклика в отдельных точках факторного пространства

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ МФЭ

Оценка математического ожидания и дисперсии
отклика в отдельных точках факторного пространства
или строках плана (чаще эти оценки в ПЭ называют
построчными средними Уu и построчным дисперсиям
Su2 .)
Проверка однородности статического материала в
целях исключения грубых промахов.
Проверка однородности построчных дисперсии Su2.
Определение дисперсии воспроизводимости Sу2.
Определение коэффициентов уравнения регрессии.
Проверка статической значимости коэффициентов
уравнения регрессии.
Проверка адекватности модели.
1

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСТРОЧНЫХ СРЕДНИХ И ДИСПЕРСИЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПОСТРОЧНЫХ
ДИСПЕРСИЙ
.
СРЕДНИХ
И
n
y1 y 2 ... y n
y
n
y
n
s
2
y
1
n
q
.
y
2
q
1
n 1
,
где (n – 1) – число степеней свободы, равное количеству
опытов минус единица.
2

3. ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ОШИБОК

Наличие резко отклоняющихся результатов (так называемых "грубых ошибок» или «промахов») недопустимо,
поэтому сначала необходимо исключить их.
Для выяснения, является ли некоторое наблюдение уq
грубой ошибкой может быть применен один из
статистических критериев.
Критерий Стьюдента
yq y
S
tð.
Опыт считается бракованным, если вычисленное значение
критерия tP окажется по модулю больше табличного t.
Значения t берутся из таблицы распределения Стьюдента.
3

4. ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ОШИБОК

y y
r (n 1) / n
S
u
u min
min
u
y
r
S
max
u
u max
y
u
(n 1) / n
где yumin , yumax - min и max из всех полученных откликов
в точке u и сравнивнить с табличным числом задавшись
числом степеней свободы fu= n - 1 и уровнем значимости
.
4

5. Проверка однородности построчных дисперсий

Цель проверки - определить, является ли измерение
отклика во всех точках равноточными или нет.
Понятие однородности нескольких оценок дисперсий
S12, S22 ... SN2 означает, что все величины Su2 являются
оценками одной и той же дисперсии Sy2 - дисперсии
воспроизводимости.
В этом случае различие между оценками S12, S22 ... SN2
объясняется их случайным характером.
5

6. Критерий Фишера

S
2
F
i max
p
S
2
i min
f1 = n1-1;
f2 = n2-1.
Если F Fтаб , то дисперсии однородны, а измерения
равноточны.
6

7. КРИТЕРИЙ КОХРЕНА

2
G
p
S u max
N
S
u 1
fu = n-1
2
u
f = N.
Если Gр Gкр , то дисперсии однородны, а измерения
равноточны.
7

8. ДИСПЕРСИЯ ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ

2 1
S âî ñ N
2
S
u
u 1
y
N
S âî2 ñ
N
n
iq
1
1
yi
N n 1
2
,
где i = 1, 2, ..., N; q = 1, 2, ..., n.
8

9. ДИСПЕРСИЯ ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ

2
Величина
Sвос Sвос является оценкой СКО
y и носит название ошибки опыта.
Формула применима если
2
2
y
y
А
(
шк
А
(
шк
K
300
K
200
n 1. Если n=1
)2
)2
Ашк - предел измерения;
к% - класс точности.
9

10. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ bi

Использование МНК, являющегося основой
регрессионного анализа, возможно при трех допущениях:
Отклик подчиняется нормальному закону распределения.
Значения yui - статистически независимы.
Построчные дисперсии однородны.
1 N
1
,
yu
b0 N
bi N
u 1
1 N
yu .
bij N
X
X
iu
ju
u 1
N
X iu y
u 1
u
;
С помощью указанных выражений получают статистически
независимые коэффициенты bi. Поэтому количество их в
уравнении регрессии можно увеличивать по мере
необходимости. Включение новых коэффициентов не
изменит значений ранее вычисленных.
10

11. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Расчетное значение критерия Стьюдента
tpi
b
i
S
вос
N n
tpi tкр - коэффициент статистически незначим и
отбрасывается. tкр выбирается по таблицам исходя из
уровня значимости и числа степеней свободы
fi = N ( n-1 ).
На практике обычно для сокращения объема расчетов
вычисляют не все значения tpi , а одно значение bкр.
Все коэффициенты bi меньше bкр принимаются
равными нулю.
11

12. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

bкр = Sbi tкр
2
S
S
âî ñ
bi
2
N n
12

13. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

ПРОВЕРКА
F рас
2
S
ад
АДЕКВАТНОСТИ
МОДЕЛИ
n y ~
y
u
u
u 1
N
2
Sад
2
Sвос
2
N L
L - число значимых коэффициентов уравнения
регрессии.
.
Fрасч < Fкр
fад = N - L
fu = N ( n - 1 )
13