Немного истории
Алгоритм графического решения квадратных уравнений
Графическое решение квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
Алгоритм построения параболы
Примеры графического решения квадратных уравнений
Графический способ решения квадратных уравнений
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x
x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом
x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4
Решите графически уравнение
Решить графически уравнение
Как решить уравнение?
Решить графически уравнение
Построить график функции
Построить график функции
Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций
Построить график функции
Решить графически уравнение
Решить графически уравнение
Итог
Заключительное слово учителя:
1.43M
Категория: МатематикаМатематика

Графическое решений квадратных уравнений

1.

Алгебра 8 класс

2. Немного истории

Еще в древнем Вавилоне могли
решить некоторые виды
квадратных уравнений.
Диофант Александрийский,
Аль- Хорезми
Решали уравнения
геометрическими и
.
графическими способами
Евклид
Омар Хайям

3.

Квадратное уравнение имеет вид
ax2 + bx + c = 0
Для графического решения квадратного уравнения
представьте его в одном из видов:
ax2 + bx +c = 0
2
ax = -bx – c
2
ax + c = - bx
a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a

4. Алгоритм графического решения квадратных уравнений

Ввести функцию f(x), равную левой части и
g(x) , равную правой части
Построить графики функций y=f(x) и y=g(x)
на одной координатной плоскости
Отметить точки пересечения графиков
Найти абсциссы точек пересечения,
сформировать ответ

5.

Способы графического решения
квадратного уравнения
ах² + bх + с = 0
I
Способ
поcтроения
параболы
y=ах²
+bx+c
III
II
(a)
Способ
поcтроения
прямой
у= bx+c и
параболы
у = ах²
(b)
Способ
поcтроения
прямой
у= bx и
параболы
у = ах²+с
(в)
Способ
поcтроения
прямой
у= с и
параболы
у = ах²+ bx
Способ
выделения
полного
квадрата

6.

«Человеку, изучающему алгебру,
часто полезнее решить одну и ту же
задачу различными способами, чем
решать три-четыре различные
задачи. Решая одну задачу
различными способами, можно путем
сравнения выяснить, какой из них
короче и эффективнее. Так
вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

7. Графическое решение квадратного уравнения

Иллюстрация на одном примере

8. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 1
• Построить график функции
y=ax2+bx+c
• Найти точки пересечения графика с
осью абсцисс

9.

Решить уравнение
у х2 2х 3
1 способ
Построим график функции у =
1.
2.
х 2х 3 0
2
у
х2 2х 3
График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
Вершина ( х0 ; у0)
в
х0 =- 2а
3
Хο=1
у0 12 2 3 4
о
(1; -4)-вершина
3. Ось параболы
х0 1
-1
1
3
4. Дополнительные точки:
х -1 0 1 2 3
у
0
-3 -4
-3
0
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.
Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.
х

10. Алгоритм построения параболы

найти координаты вершины;
провести ось параболы;
отметить на оси абсцисс две точки,
симметричные относительно оси
параболы; найти значения функции в
этих точках;
провести параболу через полученные
точки.

11. Примеры графического решения квадратных уравнений

Решение уравнения
•Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
x2-2x –3=0
у=x2 – 2x -3
а = 1>0, ветви вверх
•Координаты вершины x۪ ۪
ο
=-b/2a; x۪ ۪
ο
=1 .
y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
Найти точки абсциссы которых
симметричны относительно х=1
-1
2 -2x -3
•Построить
по
таблице
график
y=x
x 0 2 -1 3
y
-3 -3 0
0
3
Корни уравнения равны абсциссам точек
пересечения параболы с осью ОХ

12. Графический способ решения квадратных уравнений

Парабола и прямая не
Парабола и
прямая
касаются
Квадратное
уравнение
имеет два равных
корня
Парабола и прямая
пересекаются
Квадратное
уравнение
имеет два
различных корня
пересекаются и не
касаются
Квадратное
уравнение не имеет
корней

13. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2(а)
• Построить графики функции y=ax2 и
у = bx+ с
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков.

14. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3

Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 иy= 2x + 3
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения
параболы с прямой
-1
3

15.

2 способ
Преобразуем уравнение
х2 2х 3 0
к виду
х2 2х 3
у х2 ; у 2х 3
Построим в одной системе координат графики функций
у х2
у 2х 3
-это
парабола
у
-это прямая
у 2х 3
у х2
х
0
1
у
3
5
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
3
х
-1
3

16.

4 x2 – 4x + 1 =0
Представим в виде
4x2 = 4x -1
1). Построим графики функций:
у = 4 x2 , у = 4x - 1
2). Строим параболу у = 4 x2
а = 4, ветви вверх
хο = - в ; хο= 0; ; уο= 0.

По шаблону строим параболу
у
3
1
0,5
0
-1
3). Строим прямую у = 4x - 1
x
0
1
y
-1 3
Корнем уравнения является
абсцисса точки пересечения: 0,5
1
х

17. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2 (b)
• Преобразовать уравнение к виду
ax2+с = bx
• Построить:
параболу y = ax2+с и прямую y = bx
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков функции.

18. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x

y=x2 –3
Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 –3 и y =2x
-1
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы с
прямой
y =2x
3

19. x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x

y
Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y=x2 +5 и y =4x
y=x2 +5
y =4x
Точек пересечения
параболы с прямой нет
Ответ: корней нет
о
x

20. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 2(в)
• Построить графики функции
• y=ax2 + bx и
у=с
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков.

21. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3

y
Пусть f(x)= х² - 2х и g(x)=3
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y= х² - 2х и y=3
-1
y= х² - 2х
y=3
о
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы
с прямой
-1
2
х
3
3

22. Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом

Способ 3
(выделение полного квадрата)
• Преобразовать уравнение к виду
a(x+l)2 = m
• Построить:
параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
• Найти абсциссы точек пересечения
графиков функций.

23.

Выделение квадрата двучлена.
x2 – 2x = 3
x2 – 2x + 1 = 3 + 1
( x –1)2=4.
( x –1)2 - 4 = 0
( x –1)2 - 2² = 0
( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0
( x –3 ) ( x + 1 ) = 0
x –3 = 0
x+1=0
x =3
x =-1

24. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4

y= (x –1)2
Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
Построим на одной
координатной плоскости
графики функций
y= (x –1)2 и y=4
y=4
-1
Корни уравнения
абсциссы точек
пересечения параболы
с прямой
3

25. Решите графически уравнение

Группа А
Группа В
Бычев Андрей
Баличев Илья
Ерофеева Ксения
Помигуев Павел
Каминская Света
Фролов Саша
Лобов Егор
Лукьяненко Вероника
Осипов Павел
Циорба Влад
х² + 2х – 8= 0
4х² - 8х + 3= 0
Группа С
Григорьева Катя
Соловьев Илья
3х² + 2х – 1= 0

26.

Сколько нам открытий
чудных готовит
просвещения дух?

27. Решить графически уравнение

x 2x 8 0
2

28. Как решить уравнение?

x 2x 8 0
2
Построить график квадратичной функции и
абсциссы точек пересечения параболы с осью x
будут являться корнями уравнения.
Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть
функции, построить графики этих функций,
установить точки пересечения графиков функций,
абсциссы которых и будут являться корнями
уравнения.

29. Решить графически уравнение

x 2 x 8
2

30. Построить график функции

y x
2

31. Построить график функции

y 2 x 8

32. Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

x1 4
x2 2

33. Построить график функции

y x 2x 8
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы с осью ОХ
x1 4
x2 2

34. Решить графически уравнение

x 8 2 x
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
x1 4
x2 2

35. Решить графически уравнение

( x 1) 9
2
Корни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
x1 4
x2 2

36. Итог

Познакомились:
• с графическим методом решения
квадратных уравнений;
• с различными способами графического
решения квадратных уравнений.
• закрепили знания по построению
графиков различных функций.

37. Заключительное слово учителя:

«Чем больше и глубже вам
удастся усвоить азы
математики и научиться
пользоваться ее методами, тем
дальше и быстрее вы сумеете
продвинуться в использовании
математических средств в той
области деятельности, которой
займетесь после школы»
English     Русский Правила