Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела
§ 12. Некоторые виды систем
следовательно,
12.2. Система с идеальными связями
12.3. Примеры идеальных связей
5. При нерастяжимых нитях и стержнях
§ 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела
§ 14. Принцип Даламбера для механической системы
Введем обозначения
14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции системы
По теореме об изменении кинетического момента
14.2. Приведение сил инерции твердого тела
3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс системы
14.3. Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела
Главные моменты относительно тех же осей
Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b
Вычислим проекции Rин и учтем, что Rин ||ОС и
Определим проекции
Подставим в уравнения равновесия
Если хС = 0, yС = 0, Jxz = 0, Jyz = 0, то наличие вращения не влияет на значения реакций подшипников
Механический смысл величин
2.10M
Категория: ФизикаФизика

Динамика механической системы и твердого тела (§12 - §14). Некоторые виды систем

1. Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела

§ 12. Некоторые виды систем
12.1. Неизменяемая система
12.2. Система с идеальными связями
12.3. Примеры идеальных связей
§ 13. Дифференциальные уравнения движения твердого
тела
§ 14. Принцип Даламбера для механической системы
14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции
системы
14.2. Приведение сил инерции твердого тела
14.3. Динамические реакции, действующие на ось при
вращении тела

2. § 12. Некоторые виды систем

12.1. Неизменяемая система
Неизменяемой называют механическую систему, в
которой расстояние между каждыми двумя
взаимодействующими точками во все время движения
остаётся постоянным
Рассмотрим две точки в неизменяемой системе, т.е.
В1В2 = const
V1
Пусть точка В1 движется со
скоростью V1 ,
α
а точка В2 – со скоростью V2 ,
V2
В1
тогда по теореме о проекциях
F12
β
F21 В2
скоростей V1 cos V2 cos ,
т.к.
ds V dt
, то
ds1 cos ds2 cos

3. следовательно,

A F
F
A F F
i
12
ds1 cos ,
i
12
i
21
i
21
ds2 cos
Сложим эти выражения, воспользовавшись свойством
внутренних сил, тогда имеем
A F
i
12
A F 0,
i
21
и теорема об изменении кинетической энергии для
e
такой системы будет dT
dA F
k
k
или
T1 T0 A Fke
k

4. 12.2. Система с идеальными связями

Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не
изменяющиеся со временем
Разделим все внешние и внутренние силы на активные
a
r
и реакции связей, тогда dT
dAk
dAk
k
k
Т.к. силы реакции связи – постоянные, то
r
dA
k 0,
k
и теорема об изменении кинетической энергии для такой
системы запишется
dT dAka
k
Связи называются идеальными, если они не
изменяются со временем и при элементарном
перемещении системы сумма их работ равна нулю

5. 12.3. Примеры идеальных связей

1. Движение по гладкой поверхности
dA Fтр 0
2. Если связью является неподвижная поверхность
(или кривая), трением о которую можно пренебречь
A N 0
3. Качение без скольжения по твердой поверхности
A Fтр 0
4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без
деформаций)
A F
0 и A N 0
сопр

6. 5. При нерастяжимых нитях и стержнях

A Fупр 0
6. Шарнирно неподвижная опора
A Rшарн 0 ,
если Fтр = 0
Вывод
В случае системы с идеальными связями теорема об
изменении кинетической энергии
Tкон Tнач A Fka
k
(22)

7. § 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела

1. Если тело двигается поступательно, то
дифференциальное уравнение его движения запишется
как движение центра масс
M aC Fke
(23)
k
в координатном представлении
M xC Fkxe ;
M yC Fkye ;
k
M zC Fkze
k
k
2. Если тело двигается вращательно, то по теореме
dK Z
моментов
momZ Fke . K J , а ,
dt
(24)
Z
Z
k
J Z momZ Fke
k
– дифференциальное
уравнение движения
вращающегося тела

8.

3. Если тело двигается плоско-параллельно, то
положение его центра масс описывает уравнение
движения центра масс системы, а уравнение для
вращательного движения – его вращение относительно
МЦС
M xC Fkxe
k
M yC Fkye
k
M zC Fkze
k
J zC momzC Fke
k
(25)

9. § 14. Принцип Даламбера для механической системы

Для каждой точки системы можем записать уравнение
e
i
ин
принципа Даламбера Fk Fk Fk 0
Просуммируем по всем точкам системы
e
i
ин
F
F
F
k k k 0
(26)
k
Если в любой момент времени к каждой из точек
системы кроме действующих на нее внешних и
внутренних сил присоединить соответствующие
силы инерции, то полученная система сил будет
уравновешенной и к ней можно применить все
уравнения статики

10. Введем обозначения

R ин Fkин
− главный вектор сил инерции,
k
M Оин momО Fkин
k
F 0
i
k
Так как
− главный момент сил инерции
относительно центра О
и
k
i
mom
F
O k 0
, то
k
e
ин
F
R
0
k
k
mom F M
O
k
e
k
ин
O
0
(27) − условия равновесия
механической
системы

11. 14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции системы

При поступательном движении
F M a 0
e
k
R M aC
(28)
R M aC
R M aCn
ин
ин
n
k
C
k
ин
M aC Fke
Главный вектор сил инерции
системы равен произведению
массы системы (тела) на
ускорение центра масс и
направлен в противоположную
сторону ускорения
Тангенциальная и нормальная
(центробежная) силы инерции

12. По теореме об изменении кинетического момента

dK O
dK O
e
e
momO Fk momO Fk
0
dt
dt
k
k
M
ин
O
dK O
dt
M
ин
Z
dK Z
dt
(29) − главный момент
сил инерции системы
относительно центра О
− главный момент
сил инерции системы
относительно оси Z

13. 14.2. Приведение сил инерции твердого тела

Систему сил инерции твердого тела можно
заменить одной силой Rин, приложенной в
произвольно выбранном центре О, и парой сил с
моментом, равным МОин.
1. Пусть механическая система движется поступательно,
тогда ak aC
Все силы инерции образуют систему параллельных
сил и имеют равнодействующую, проходящую через
центр масс системы
F ин M aC

14.

2. Пусть механическая система, обладающая
плоскостью симметрии ОХY, движется вращательно
относительно оси ОZ, тогда результирующая сила Rин
и пара сил с моментом МОин будут лежать в
плоскости ОХY
M
ин
Z
dK Z
JZ JZ
dt
здесь ε − угловое ускорение системы

15. 3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс системы

Если твердое тело совершает такое движение, то
сила R ин 0 , т.к. aC 0, следовательно, система сил
ин
инерции сводится к паре сил с моментом, равным M CZ
4. Плоско-параллельное движение
Если тело имеет плоскость симметрии и движется
параллельно этой плоскости, то равнодействующая сил
инерции лежит в ней и приложена к центру масс тела, а
пара сил имеет момент
ин
M CZ
J CZ
ε − угловое ускорение тела

16. 14.3. Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела

Реакции, возникающие в опорах при движении тела,
называются динамическими
Свяжем с телом оси АХYZ,
вращающиеся вместе с ним с
Z
B
постоянной угловой скоростью ω
e
e
F2
ω F1
Тогда координаты центра масс
и моменты инерции тела будут
постоянными величинами
Пусть на тело действуют
заданные силы, то проекции
главного вектора этих сил будут
Rxe Fkxe
k
Rye Fkye
k
Y
Rze Fkze
Fne
A
Х
k

17. Главные моменты относительно тех же осей

e
M xe momx Fke , M ye momy Fke , M z 0, т.к. ω = const
k
k
Определим динамические реакции подшипников
XA, YA, ZA, XB, YB
Z YB
Присоединим силы инерции всех
B
ХВ
частей тела, приведя их к центру А
e
ω
F
e
1
F2
Равнодействующая сила Rин и
пара с моментом
М Аин momA Fkин
k
Fn

ХА
Х
A
МХин
e
M

МYинY
Rин
Проекции этого момента будут
M xин momx Fkин
M
ин
y
čí
z
mom F
k
y
k
ин
k
0, т.к. const

18. Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b

X A Х В Rxe Rxин 0,
F2eХВ
Z YB
ω F1e
B
n
C
О a
hC
ХА
Х
МХин
Z A Rze Rzин 0,
YB b M xe M xин 0,
X B b M ye M yин 0,
С
M ze M zин 0

A
YA YB Rye Ryин 0,

Rин
Главный вектор сил инерции
Fne Rин = - maC , где m – масса тела
Центр масс С имеет только
нормальное ускорение , т.к.
Y
ин
n
2
МY
ω = const , aC hC ,
где hC = ОС – расстояние центра
масс С от оси вращения тела

19. Вычислим проекции Rин и учтем, что Rин ||ОС и

hC cos xC , hC sin yC , где xC и yC – координаты
центра масс С
F2
Х
e В
Rxин m 2hC cos m 2 xC ,
Z YB
B
ω F1
hk
n
C
О a
hC
Х
Рассмотрим какую-нибудь
точку тела, чтобы
определить моменты сил
инерции относительно осей.
С
Fne

A
МХин
Rzин 0
mk

ХА
Ryин m 2hC sin m 2 yC ,
e
МYинY
α
Rин
Для нее тоже сила инерции
имеет только центробежную
составляющую, т.к. ω=const
Fkин mk 2 hk

20. Определим проекции

Fkxин mk 2 xk ,
Fkyин mk 2 yk ,
F2
Х
e В
Z YB
B
ω F1e
hk
n
C
О a
hC
mk
С

A

ХА
Х
МХин
Rин
Fkzин 0,
momx F
F F
ин
k
momy
ин
k
2
m
yk zk ,
F z
k
ин
ky k
2
z mk xk zk
ин
k
k
Просуммируем по всем
точкам тела
M xин mk yk zk 2 J yz 2 ,
k
e
Fn
M yин mk xk zk 2 J xz 2 ,
k
Y
МYин Jxz и Jyz – центробежные
моменты инерции тела

21. Подставим в уравнения равновесия

Уравнения определяют
динамические реакции в
подшипниках
F2e ХВ
hk
n
C
О a
С
hC
Х
ХА
A
МХин
X B b M ye J xz 2 ,
YB b M xe J yz 2
mk
Fne


Rин
YA YB Rye m yC 2 ,
Z A Rze ,
Z YB
F1e
ω
B
X A X B Rxe m xC 2 ,
МYин
Y
Если ω = 0, то получаем
статические реакции
Динамические реакции
значительно больше
статических
Это зависит не только от ω,
но и хС, уС, Jxz, Jyz.

22. Если хС = 0, yС = 0, Jxz = 0, Jyz = 0, то наличие вращения не влияет на значения реакций подшипников

Получили условие динамической уравновешенности
вращающегося тела относительно оси Z
Динамическое уравновешивание вращающихся тел –
важная техническая задача
Любую ось, проведенную в теле, можно сделать
главной центральной осью инерции, прибавляя к телу
две точечные массы!
Пусть для тела массой m координаты его центра масс
и центробежные моменты инерции известны и не равны
нулю: хС ≠ 0, yС ≠ 0, Jxz ≠ 0, Jyz ≠ 0

23.

Прибавим к телу ещё две массы m1 и m2 в точках с
координатами (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2)
Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и
её центробежные моменты инерции
1
rC mk rk , Чтобы для полученной системы
M k
ось Z стала главной центральной
J xy mk xk yk , осью инерции, необходимо
k
J yz mk yk zk ,
k
J zx mk zk xk
k
выполнение следующих условий
m xC m1 x1 m2 x2 0,
m yC m1 y1 m2 y2 0,
J xz m1 x1 z1 m2 x2 z2 0,
J yz m1 y1 z1 m2 y2 z2 0
Тогда х’С = 0, y’С = 0, J’xz= 0, J’yz = 0

24. Механический смысл величин

J xz
и
J yz
Центробежные моменты инерции характеризуют
степень динамической неуравновешенности тела при
его вращении вокруг оси Z
ин
M CZ
English     Русский Правила