Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы. (Лекция 2)

1.

Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности.
Основные теоремы.
Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство
Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности x n . Используя формулу (2)
можно записать xn a n и xn b n , где n n , n n - бесконечно малые
последовательности. Вычитая, получим n n b a. Так как, все элементы
последовательности имеют одно и тоже значение b-a, то по теореме 5 (см. ранее) b-a=0
и b=a. Теорема доказана.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть последовательность x n сходящаяся и а – ее предел. Имеет место формула
xn a n , n n , - бесконечно малая последовательность. Так как бесконечно
малая последовательность n - ограничена (теорема 3), то A n справедливо
n A . Поэтому xn a A для всех номеров n, что и означает
ограниченность последовательности x n .
Замечание
Ограниченная последовательность может быть и не сходящейся.
Например
1,-1,1,-1,… - ограничена, но не сходящаяся. Если бы последовательность сходилась, то
xn a и xn 1 a - бесконечно малые последовательности и
( xn a) ( xn 1 a) xn xn 1 была бы бесконечно малой последовательностью, но
xn xn 1 2, n.

2.

Теорема 3
Сумма сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей x n и
y n .
Доказательство
Пусть lim n xn a и lim n y n b . Тогда xn a n и y n b n ,
соответственно ( xn y n ) (a b) n n . Таким образом, последовательность
{( xn y n ) (a b)} - бесконечно малая, и поэтому последовательность {( xn y n )}
сходится и имеет своим пределом a+b.
Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей
x n и y n . Доказательство аналогичное.
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей x n и y n есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен произведению пределов
последовательностей x n и y n .
Доказательство
Пусть lim n xn a и lim n yn b . Тогда xn a n и y n b n , соответственно
( xn y n ) (a n )(b n ) ab a n b n n n . Но в силу теоремы 4 (для бесконечно
малых последовательностей, следствия из него и теоремы 1) a n b n n n
- бесконечно малая последовательность. То есть xn y n сходится и ее предел - ab.
Лемма
Если последовательность y n сходится, то есть lim x y n b 0 , то, начиная с

3.

некоторого номера, определена последовательность 1 , которая является
ограниченной.
yn
Доказательство
Пусть | b | . Так как b 0 0. Пусть N – номер, соответствующий этому ,
2
|b|
y
b
y
b
n
n
начиная с которого выполняется неравенство
2 . Из этого
|b|
y
неравенства следует, что при n N выполняется неравенство n
2 . Действительно
|b|
|b|
|b|
| b | b y n y n
yn yn
2
2
2
1
2
Поэтому, при n N имеем y
| b | . Следовательно, начиная с этого номера N,
n
1
.
можно рассматривать последовательность
, и эта последовательность
ограничена. Лемма доказана.
yn
b (b y n ) y n , и, b - y n
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей x n и y n при условии, что предел
последовательности y n отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел
которой равен частному пределов последовательностей x и y .
n
n
Доказательство
Из леммы следует, что, начиная с некоторого номера N элементы y n не равны 0 и
последовательность 1 - ограничена. Начиная с этого номера, рассмотрим
y n xn
последовательность . Пусть lim n xn a и lim x y n b
yn

4.

xn a
- бесконечно малая последовательность. Так как xn a n и
yn b
Докажем, что
y n b n , то
xn a xn b y n a 1
a 1
a
1
a
(a n (b n ))
( n n )
xn y n
yn b
yn b
yn
b yn
b
yn
b
a
1
{
n } - бесконечно малая,
Так как - ограничена, а последовательность
n
b
то
yn
xn a
1
a
{
}
{
(
n )} - бесконечно малая, то есть
n
последовательность y
b
yn
b
n
x
a
lim n n . Теорема доказана.
yn
b
Предельный переход в неравенствах
Неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в
пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих
последовательностей.
Имеют место теоремы.
Теорема 1
Если элементы сходящейся последовательности x n , начиная с некоторого номера,
удовлетворяют неравенству xn b, xn b , то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству a b, a b

5.

Доказательство
lim n xn a и x n , начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству xn b
Покажем, что a b . Предположим обратное, то есть a<b. Так как lim n xn a,
тогда положим b a и для можно указать N N ( ), что при n N
выполняется xn a . То есть xn a b a или (b a) xn a b a .
Используя правое неравенство, получим xn b, а это противоречит условию теоремы.
Следствие 1
Если элементы сходящихся последовательностей x n и y n , начиная с некоторого
номера, удовлетворяют неравенству xn y n, то lim n x n.
Следствие 2
Если элементы сходящейся последовательности x n находятся на сегменте [a,b], то и
lim n xn [a, b]
Теорема 2
Пусть lim n xn a и lim n z n a . Пусть также начиная с некоторого номера
элементы последовательности y удовлетворяют неравенству xn y n z n , тогда
n
lim n y n a
Монотонные последовательности
Определение
Последовательность x называется неубывающей (невозрастающей), если для всех
номеров n справедливо nнеравенство xn xn 1 ( xn xn 1 ).
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n xn xn 1 xn - возрастающая.
Если для всех n x x x - убывающая.
n
n 1
n
Общее название – строго монотонные.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу.

6.

Невозрастающие – ограничены сверху;
Неубывающие – ограничены снизу;
Невозрастающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена
снизу.
Неубывающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена
сверху
Примеры.
1 1
1 1
, ,..., , ,... невозрастающая, ограничена сверху 1, снизу – 0.
2 2
n n
2. 1,1,2,2,3,3,..., n, n,... неубывающая, ограничена снизу - 1.
1 2 3
n
3.
, , ,...,
,... возрастающая, ограничена снизу 1 , сверху – 1.
2 3 4
n 1
2
1. 1,1,
Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема
Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу),
то она сходится (основная теорема).
Другая формулировка
Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она
сходится.
Доказательство
Последовательность
x - ограничена, то x и x - точные верхняя и нижняя грани.
n

7.

Докажем, что если последовательность неубывающая, то x - ее предел;
Если последовательность невозрастающая, то x - ее предел;
Ограничимся случаем неубывающей последовательности.
Поскольку x - верхняя грань множества элементов последовательности, то
0 x N , такой, что x N x и x N x ( xn x) . Сопоставляя неравенства,
получаем 0 x x . Так как x n - неубывающая последовательность, то при
N
справедливо
неравенство x N xn x 0 x xn x x N . Выше было
n N
неравенство 0 x x N , тогда 0 x xn или . Таким образом, x - предел x n .
Замечание 1
Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой
необходимое и достаточное условие ее сходимости.
Замечание 2
( 1) n
Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например xn
n
сходящаяся, так как lim n xn 0. Но она не монотонная.
Свойства числовых последовательностей и числовых множеств
Подпоследовательности числовых последовательностей
Пусть x1 , x 2 ,..., x n ,... - некоторая числовая последовательность. Рассмотрим
последовательность k1 , k 2 ,..., k n ,...k i 0, k i 1 k i . Выбираем из x элементы с
n
номерами k1 , k 2 ,..., k n ,... , то есть x k , x k ,..., x k ,... - это подпоследовательность
1
2
n
последовательности x n .
Свойство 1
Если для x n lim n xn a , то любая подпоследовательность этой
последовательности имеет своим пределом число а.

8.

Справедливо и обратное.
Если все подпоследовательности последовательности x n сходятся, то пределы этих
подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же
числу сходится и последовательность x n .
Свойство 2
Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет
бесконечно большой.
Свойство 3
Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся
подпоследовательность.
Предельные точки последовательности
Определение 1
Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности x n ,
если любой - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов
последовательности x n .
Лемма 1
Если х – предельная точка последовательности x n , то из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность x , сходящуюся к числу х.
kn
Доказательство
Пусть х – предельная точка x n . Рассмотрим систему - окрестностей точки х:
1
1
1, ,..., ,... Выберем x k1 1 , x k2 2 ,..., x kn n и так далее.
1
2
2
n
n
Это процесс можно продолжить бесконечно, так как в - окрестности точки х
имеется бесконечно много элементов последовательности x n .

9.

В результате получаем подпоследовательность x k , которая сходится к х, так как
1 . Теорема доказана.
x x
n
kn
n
Замечание
Справедливо обратное утверждение: Если из последовательности x n можно
выделить подпоследовательность x
, сходящуюся к числу х, то х является
k
n
предельной точкой и для x n .
Определение 2
Точка х называется предельной точкой последовательности x n , если из этой
последовательности можно выделить подпоследовательность
, сходящуюся к х.
xkn
Лемма 2
Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку,
совпадающую с пределом этой последовательности.
Доказательство
Отметим, что предел а сходящейся последовательности x n является предельной
точкой этой последовательности, поскольку в - окрестности точки а содержатся
все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Убедимся, что у x n
нет других предельных точек. Действительно, пусть b - предельная точка сходящейся
последовательности. В силу леммы 1 из x n можно выделить подпоследовательность
x k n , сходящуюся к b. Но любая подпоследовательность сходящейся
последовательности имеет предел а (на основании определения предельной точки) и
поэтому b=a.
Существование предельной точки у ограниченной последовательности

10.

Теорема
У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная
точка.
Определение 1
Наибольшая предельная точка x последовательности x n называется верхним
пределом этой последовательности.
Обозначение последовательности x lim n xn
У всякой ограниченной последовательности существует верхний предел.
Определение 2
Наименьшая предельная точка x последовательности x n называется нижним
пределом этой последовательности.
Обозначение последовательности x lim n xn
У всякой ограниченной последовательности существует нижний предел.
Окончательно
У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.
Следствие 1
Если (a,b) – интервал, вне которого лежит лишь конечное число элементов
ограниченной последовательности x n , а x и x - верхний и нижний пределы
этой последовательности, то интервал ( x, x ) содержится в интервале (a,b) и поэтому
x x b a.
Следствие 2
Для 0 интервал ( x , x ) содержит все элементы последовательности x n ,
начиная с некоторого номера.
Замечание
Ограниченная последовательность в общем случае может иметь любое количество

11.

предельных точек (конечное или бесконечное). Пусть x и x - верхний и нижний
пределы этой последовательности. Очевидно, что все предельные точки
последовательности лежат на сегменте [ x, x ] (сколько бы их не было).
Если x x - то последовательность имеет только одну предельную точку.
Если x x - то последовательность имеет две предельные точки.
Пример
1
1
1
1,2, ,2, ,2,..., ,2,... имеет две предельные точки x 0; x 2 .
2
3
n
О выделении сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство
Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку
х. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся к точке х (см. определение 2 предельной точки).
Замечание 1
Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную
подпоследовательность.
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой
подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание 2
Пусть x n ограниченная последовательность, элементы которой находятся на
сегменте [a,b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности x k также
n
находится на сегменте [a,b].

12.

Действительно, так как a x k b a c b
n
Замечание 3
В отдельных случаях из неограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
Например
1 1
1
1, ,2, ,..., n,
,... неограниченно, но подпоследовательность
2 3
n 1
1 1
1
, ,...,
,... сходится.
2 3
n 1
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности
Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины
элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной
последовательности.
Определение
Последовательность x n называется фундаментальной, если 0 N , такой,
что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n N и для всех натуральных
чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство x
n p xn
Теорема 1
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то
есть lim
n xn x x
Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)
Для 0 x N фундаментальной последовательности, - окрестности которого
находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

13.

Другими словами, вне интервала x N , x N находится не более чем конечное
число элементов последовательности.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной
последовательности.
Пусть 0 и x N - элемент, в - окрестности которого находятся все элементы,
начиная с номера N. Тогда вне этой - окрестности могут находиться только элементы
A max{| x1 |, | x2 |,..., | x.NТогда
|, | x N [-A,A]
|}
. Положимx1 , x2 ,..., x N 1
1 |, | xна
N сегменте
x1 , ,xа2 ,...,
x N 1 , x N , xиNвсе
точки находятся числа
следовательно,
окрестности числа
. Отсюда вытекает,
x N что все элементы фундаментальной
последовательности находятся на сегменте [-A,A], что и означает ее ограниченность.
Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы
она была фундаментальной.
Доказательство
Необходимость
Пусть
- сходящаяся, и х – ее предел. Требуется доказать, что эта
последовательность
фундаментальная.
x n
Возьмем
. Из определения сходимости последовательности вытекает, что для
, 0такой, что при
выполняется неравенство
. Если
n N
0, N
xn x
2
, то при
выполняется также и неравенство
2.
p N
n N
xn p x
Из последних неравенств получаем
| x n p x n | | ( x n p x) ( x x n ) | | x n p x | | x n x |
Фундаментальность установлена.
2
2
2

14.

Достаточность
Пусть x n - фундаментальная последовательность. Требуется доказать, что эта
последовательность сходится. Для этого достаточно доказать ограниченность x n и
равенство ее верхнего и нижнего пределов x и x . Ограниченность фундаментальной
последовательности уже была установлена выше. Для доказательства равенства
пределов воспользуемся рассмотренным ранее свойством фундаментальной
последовательности: Для
фундаментальной
0 x N последовательности, в
окрестности которого находятся
все элементы последовательности, начиная с номера N.
Другими словами, вне интервала
находится не более чем конечное
x N , x N
число элементов последовательности.
На основании теоремы: (у всякой ограниченной последовательности существует хотя
бы одна предельная точка и следствия из данной теоремы) интервал
содержит интервал
, и поэтому
, откуда в силу произвольности
x N , x N
x x 2 и теорема доказана.
[ x, xсходимость
]
. Тем самым
установлена
x x