Проектирование условий измерений

1. Проектирование условий измерений

Обратная задача теории погрешности измерений.
Задача предрасчета условий измерений:
-в заданных пределах, предельное (лимитированное)
проектирование,
- оптимальна по какому-либо критерию, с
получением наилучших значений –
оптимальное проектирование.
Из условий измерений (средства и методы измерения):
- точность измерений,
состав измерений,
количество измерений,
- внутренняя геометрия измерений.
1

2. Проектирование условий измерений

Задача предельного проектирования точности одной
функции: задана функция, и ее погрешность σf.
Предрассчитать (спроектировать) условия измерений
чтобы при их реализации мы получили именно наиболее
похожую на заданную погрешность функции.
Основа:
2
2
f
f f
f
2
2
2
f 1 ... i 2
K ij
i j xi x j
x1
xi
f12 12 ... fi 2 12 2 fi f j rij i j f K x f T
i j
2

3. Проектирование условий измерений

Необходимость привлечения дополнительной
информации об условиях измерений.
Принцип взвешенных влияний с равными
условиями –
предположение о равном влиянии на конечный
результат частей в выражении для погрешности с
коэффициентом влияния (весом) слагаемых.
3

4. Проектирование условий измерений

Пример:
2
2
2
f
f
f
2
2
2
1
2
3
x
x
x
1
2
3
2
f
f 2
f 2
f 2
2
2
2f w1 12 w2
w
2
1
3
x1
x2
x3
w1 w2 w3
2
1
2
2
2
3
2
i
2
f
f 2 wi
Другие возможности: досчет (что то задано), равность.
4

5. Проектирование условий измерений

Из равности - «принцип равных влияний».
Основной способ - проектирование по точности:
1. 1 2 ...
2f f12 2 ... fi 2 2 2 fi f j rij
i j
2
f 2 fi f j rij
i j
2
f
1
2
f 2 fi f j rij
i j
f
Основной частный случай без связи:
1
f Rx f T
f
f 2
5

6. Проектирование условий измерений

f
f f
f
2
2
2
f 1 ... i 2
i j xi x j
x1
xi
2
2
K ij
f12 12 ... fi 2 12 2 fi f j rij i j f K x f T
i j
2.
f1 1 f 2 2 ... f n n
2f n fi 2 i2 2 fi 2 i2 rij n fi 2 i2 2 fi 2 i2 rij
i j
fi 2 i2 n 2 rij
i j
i j
2
f
n 2 rij
f i 2 i2
i j
1
1
i f
f
2
fi eRx e
f i Rx f i где f i - вектор од. пр.
f
Главный частный случай без связи
i
fi n
6

7. Проектирование условий измерений

f
f f
f
2
2
2
f 1 ... i 2
i j xi x j
x1
xi
2
2
K ij
f12 12 ... fi 2 12 2 fi f j rij i j f K x f T
i j
3.
f1 f 2 ... fi
2
1
2
2
2
i
2f f1 f1 12 ... f n f n n2 2 fi f j i j rij
i j
2f f1 f2 ... fn fi i2 f fi i2
1
f
T
fi fRxe
1
1
i f
f
T
fRx fi
fi f
f
i
fi f
Главный частный случай без связи
7

8. Проектирование условий измерений

Маркузе М.Ю. – степенное взвешивание:
m
2
i
m
2
f
f
hi 2
i
hi
f
При h = -2, предположение 1;
при h = 0, предположение 2;
при h = -1, предположение 3.
Тяжесть учета корреляции.
8

9. Проектирование условий измерений

Необходимость альтернативы при проектировании.
Проектирование на основе случайного поиска
(перебора) - сеточный метод. Суть. Результат - nмерные (по числу аргументов) сетки. Пример:
m m S
2
P
2
S
2
m 2
2
Длина S = 100 м, mP = 5см: mS и m - ?.
Шаг погрешности длины 1 см, с 1 см, например, до 7см,
Шаг погрешности угла с 10 через 10 до 60 . Таблица
погрешностей для mP при разных точностях.
9

10. Проектирование условий измерений

Оптимальное проектирование - получение
наилучшей точности из всех возможных. Не
возможность для одномерных задач:
минимальная точность функции при нулевой
точности измерений.
Условная оптимизация (минимизация) Лагранжа
– измерения связаны математическим условием.
10

11. Проектирование условий измерений

Проектирование по геометрии:
1. Погрешности измерений σi известны, f1 f2 … f :
2
f 2 i j rij
i j
2
f
2
1
1
f f
f
T
2
Rx
2 i j rij
i j
f
1
e K x eT
11

12. Проектирование условий измерений

2. Погрешности измерений σi известны и
f1 1 f 2 2 ... f n n
1
1
fi f
f
2
i eRxe
2
i n 2 rij
i j
1
f
i Rx iT
12

13. Проектирование условий измерений

3. Погрешности измерений σi известны и
f1 f 2 ... fi
2
1
2
2
2
i
1
fi f
Rx iT
Частности: одинаковые погрешности, нет связей
13

14. Проектирование условий измерений

Проектирование условий измерений
сводная таблица
Условия Проектирование σi Проектирование fi
1
1
f
fi f
1
T
fRx f
Rx T
2
3
i f
1
fi Rx fi T
1
fi f
i Rx iT
i f
1
fRx f i T
1
fi f
Rx iT
14

15. Проектирование условий измерений

Проектирование измерений для вектор-функцииотыскание значений матрицы KY F K x F T
Всегда KY задана, виды проектирования:
- нахождение значений матрицы F - проектирование
геометрии);
- нахождение матрицы Кх - проектирование точности.
Наиболее простой вид задачи:
Заданна матрица результатов KY и матрица геометрии F.
Предрассчитать точность измерений без учета тесноты
связи -элементы диагональной матрицы измерений Кх
KY F K x F
( k k )
T
( k n ) ( n n ) ( n k )
15

16. Проектирование условий измерений

Если п = k
f11
f n1
f1n k1
f nn 0
0 f11
f n1 K11
kn f1n
f nn K n1
n(n 1)
п неизвестных - t
уравнений вида
2
K11 f k1 f k2
2
11
2
12
K1n
K nn
f kn
K12 f11 f 21 k1 f12 f 22 k2
2
1n
f1n f 2 n kn
16

17. Проектирование условий измерений

Система в матричном виде с размерами будет
k y A kx
( t 1)
( t n ) ( n 1)
Решение по МНК или левая трансформация Гаусса
(домножить на AT )
A A kx A k y
T
T
Другие возможности.
17