Розрахунок середньоквадратичних зміщень
Л.13. Молекулярна динаміка зі звязками
Рівняння руху динаміки зі звязками
Рівняння руху динаміки зі звязками
Рівняння руху динаміки зі звязками
Рівняння руху динаміки зі звязками
Алгоритм динаміки зі звязками
Алгоритм динаміки зі звязками
Алгоритм динаміки з багатьма звязками
Алгоритм динаміки з багатьма звязками
Алгоритм динаміки з багатьма звязками SHAKE
Алгоритм динаміки з багатьма звязками SHAKE
109.50K
Категория: ИнформатикаИнформатика

Розрахунок середньоквадратичних зміщень

1. Розрахунок середньоквадратичних зміщень

Алгоритм розрахунку часових кореляційних функцій
1. Задається довжина N часової кореляційної функції та відстань M
між початковими моментами (t=0)
N
M
2. Для кожного початкового моменту розраховується 3N різниць
DX=X(I)-X(0), DY=Y(I)-Y(0), DZ=Z(I)-Z(0) для I=1,N і для
кожної перевіряються граничні умови.
3. Результат нормується на кількість усереднень (число частинок
сорту A,B та число різних функцій для кожного I)
r 2 (t ) | ri (t ) ri (0) |2

2. Л.13. Молекулярна динаміка зі звязками

• Молекулярні рідини
• Розрахунок потенціалу середньої сили між двома частинками
O
H
H
Модель води SPC/E:
Жорсткі молекули
rOH = 1 A
HOH=109.47o
qO = -0.8476 |e|
qH = +0.4238 |e|
Потенціали: LJ+Coulomb

3. Рівняння руху динаміки зі звязками

Звязок накладений на відстань між атомами в молекулі
(ri , rj ) rij2 dij2
Введемо Лагранжіан системи з α різними звязками
L K U (r N )
- невідомі множники Лагранжа
Рівняння руху:
d L L
dt q q

4. Рівняння руху динаміки зі звязками

Рівняння руху:
U
mi qi
Fi Gi ( )
qi
qi
Щоб знайти невідомі множники Лагранжа будемо вимагати:
q
0
t
t

5. Рівняння руху динаміки зі звязками

Наприклад, частинка повинна рухатись по сфері радіусу d:
1 2
(r d 2 )
2
Додаткова сила через наявність звязку:
G r
Для знаходження λ використовуємо
0 :
(rr ) r 2 0
Рівняння руху:
1
1
r ( F G) ( F r )
m
m

6. Рівняння руху динаміки зі звязками

Вважаючи, що зовнішня сила на частинку F=0, отримуємо:
m
r2 r2 0
Множник Лагранжа:
mr 2
2
r
Тобто, додаткова сила що діє внаслідок накладеного звязку:
mr 2
G r 2 r m r
r

7. Алгоритм динаміки зі звязками

Різницева схема:
r (t t ) 2r (t ) r (t t ) 2 t 2 r
Точність:
( t )
r (t t ) d [1
O( t 6 )]
6
4
2
2
Проблеми: похибка може акумулюватись
Для знаходження λ будемо використовувати умову точного
виконання звязку після кожного моменту часу :
r 2 (t ) d 2 0
r 2 (t t ) d 2 0

8. Алгоритм динаміки зі звязками

Різницева схема:
r (t t ) 2r (t ) r (t t )
m
t r (t ) ru (t t )
2
m
t 2 r (t )
Звязок в момент t+Δt:
d [ru (t t )
2
m
t 2 r (t )]2
- квадратичне відносно λ рівняння, яке легко розв’язується

9. Алгоритм динаміки з багатьма звязками

Різницева схема:
t
constrained
unconstrained
ri
(t t ) ri
(t t )
mi
2
l
k 1
k
i
Звязок в момент t+Δt через розклад у ряд Тейлора:
kc (t t ) ku (t t )
k
c
u
4
(
)
[
r
(
t
t
)
r
(
t
t
)]
O
(
t
)
i
riunc ( t t ) i
ri
i 1
N
k
(t )

10. Алгоритм динаміки з багатьма звязками

(t t ) 0
c
k
Тому:
t
u
k (t t )
i 1 mi
N
2
k
k '
(
) r unc (t t ) (
) r unc (t ) k '
i
ri i
k ' 1 ri
l
Яке є матричним рівнянням:
ku (t t ) t 2 M

11. Алгоритм динаміки з багатьма звязками SHAKE

Ітеративна схема, щоб позбутись обертання великих матриць
(t t ) 0
c
k
Застосовується не одночасно до
всіх звязків, а послідовно – звязок за звязком
2
t
constrained
unconstrained
ri
(t t ) ri
(t t )
i k (t )
mi
Тому:
k
1 k
(t t ) t k (
)runc (t t ) (
)r unc (t )
ri i
ri i
i 1 mi
N
u
k
2

12. Алгоритм динаміки з багатьма звязками SHAKE

Множники Лагранжа знаходяться просто для кожного k:
k t
2
N
ku (t t )
k
1 k
m ( r
i 1
i
i
) r unc (t t ) (
i
ri
) r unc (t )
i
English     Русский Правила