Дифференциальное исчисление (продолжение)

1.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №4
(продолжение).
Дифференциальное исчисление

2.

Производная
Общая схема исследования функций и
построения их графиков:
1. ООФ;
2. Чётность – нечётность;
3. Периодичность;
4. Вертикальные асимптоты;
5. Наклонные асимптоты;
6. Экстремумы, интервалы монотонности
функции;
7. Точки перегиба, интервалы выпуклости и
вогнутости функции;
8. Точки пересечения графика с осями
координат, дополнительные точки
функции.

3.

Производная
Чтобы найти экстремумы функции следует:
1. Найти производную функции:
2. Найти критические точки функции
(приравнять к нулю и числитель, и
знаменатель производной):
3. Нанести критические точки на числовую
прямую, выяснить знак производной на
каждом из полученных на прямой
интервале (применив метод интервалов).

4.

Производная
Чтобы найти точку пересечения графика
функции с осью ординат следует задать х=0.
Чтобы найти точки пересечения графика
с осью абсцисс следует решить уравнение
f ( x ) 0.

5.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить
3
её график y x 3x.

6.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить
3
её график y x 3x.
Решение:
1. ООФ: x ( ; ).
2. Функция нечётная, т.к.
y( x) ( x)3 3( x) x3 3x ( x3 3x) y( x).
3. Вертикальных асимптот нет, т.к. по ООФ
х – любое.

7.

Задача
4. Ищем наклонные асимптоты:
y ( x)
x 3 3x
k lim
lim
lim x 2 3
x
x
x
x
x
Следовательно наклонных асимптот нет.
5. Ищем экстремумы функции:
y ' 3x 2 3
3x 2 3 0 x 2 1 x 1
1
max
1
min
x

8.

Задача
y ( 1) 1 3 2
y (1) 1 3 2.
6. Ищем точки перегиба функции:
y '' ( x) 6 x
y '' ( x) 0 x 0
выпукла
0
x
вогнута
y (0) 0
Точка (0; 0) – точка перегиба функции.

9.

Задача
7. Ищем точки пересечения с осями
координат:
y( x) 0 x 3 3x 0 x( x 2 3) 0
x 0 или x 3 0 x 3 1,7.
2
8. Строим график:

10.

Задача
y
2
1
3
3 1 0
2
x

11.

Задача
y
2
1
3
3 1 0
2
x

12.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить её
график
2
4x
y 2 .
x 1
Решение:
1. ООФ:
2. Функция чётная, т.к.
x ( ; 1) ( 1;1) (1; )
4( x)
4x
y ( x)
2
y ( x)
2
( x) 1 x 1
2
2

13.

Задача
3. Вертикальные асимптоты могут проходить
через точки х = -1 и х = 1. Рассмотрим
односторонние пределы:
4x2
4x2
lim 2 , lim 2
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1
4x
4x
lim 2 , lim 2
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1
2
2
Таким образом х = -1 и х = 1 – уравнения
вертикальных асимптот.

14.

Задача
4. Наклонные асимптоты:
y kx b
y ( x)
4x2
4x
k lim
lim
lim 2
0,
2
x
x x ( x 1)
x x 1
x
4x2
b lim y ( x ) kx lim 2
0 x 4,
x
x x 1
- уравнение горизонтальной
т.о. y 4
асимптоты.

15.

Задача
5. Экстремумы:
2
2
8
x
(
x
1
)
2
x
4
x
8x
y'
( x 2 1) 2
( x 2 1) 2
x 0, x 1, x 1 критические точки.
1
0
max
y (0) 0
1
x

16.

Задача
6. Ищем точки перегиба функции:
'
8 x 8( x 2 1) 2 32 x 2 ( x 2 1)
y ' ' 2
2
2
4
( x 1)
( x 1)
8( x 2 1)( x 2 1 4 x 2 ) 8(3 x 2 1)
2
2
4
( x 1)
( x 1) 3
вогнута
1
выпукла
1
вогнута
x

17.

Задача
6. (0; 0) – единственная точка пересечения с
осями координат. Для уточнения графика
можно произвольно взять любые точки,
например х = 3 и х = -3.
4 32 36 9
y(3) 2
y ( 3).
3 1 8 2

18.

Задача
y
4
3 1 0 1
3
x

19.

Задача
y
4
3 1 0 1
3
x

20.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить её
график
x
y ( x 1)e .

21.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить её
график
x
y ( x 1)e .
Решение:
1. ООФ: x ( ; )
2. Функция общего вида, т.к.
y( x) ( x 1)e
x
3. Вертикальных асимптот нет

22.

Задача
4. Ищем наклонные асимптоты:
y kx b
( x 1)e x
x 1 x
lim
k lim
e
x
x
x x
x 1
x
x
lim
lim e 1 lim e ;
x
x
x x
lim e x , lim e x 0,
x
x
b lim ( x 1)e
x
x
x 1
1
0 x lim
lim x 0,
x e x
x e

23.

Задача
Таким образом получили y = 0 – уравнение
правосторонней горизонтальной асимптоты.
5. Ищем экстремумы функции:
y ' 1 e x ( x 1)e x e x (1 x 1) xe x
xe x 0 x 0,
y ( 0) 1 .
0
max
x

24.

Задача
6. Ищем точки перегиба функции:
x
x
1
x
y e xe e ( x 1)
''
выпукла
вогнута
2
y (1) (1 1)e 0,7
e
1
x

25.

Задача
7. Ищем точки пересечения с осью абсцисс (с
осью ординат уже получили):
( x 1)e
x
0 x 1.
8. Строим график.

26.

Задача
y
1 0
1
1
x

27.

Задача
y
1 0
1
1
x

28.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить её
График
y x ln x.

29.

Задача
Пример. Исследовать функцию и построить её
График
y x ln x.
Решение:
1. ООФ х > 0
2. Функция общего вида
3. Ищем вертикальные асимптоты:
ln x
x 1
lim ( x ln x) 0 lim 1 lim
2
x 0 0
x 0 0 x
x 0 0 x
lim ( x) 0.
x 0 0

30.

Задача
Т.о. вертикальных асимптот график не
имеет.
4. Ищем наклонные асимптоты:
x ln x
k lim (
) lim (ln x)
x
x
x
Следовательно, наклонных асимптот у
графика тоже нет.
5. Ищем экстремумы функции:
1
'
'
y ( x ln x) ln x x ln x 1
x
ln x 1 0 ln x 1 x e 1

31.

Задача
0
1
e
x
min
y(e 1 ) e 1 ln e 1 e 1.
1
6. Ищем точки перегиба функции: y (ln x 1)
x
''
0
функция вогнута на всей ООФ
'
x

32.

Задача
7. Ищем точки пересечения с осью абсцисс:
x ln x 0
x 0 или x 1
не входит в ООФ
8. Строим график

33.

Задача
y
0
e
1
e
1
1
x

34.

Задача
y
0
e
1
e
1
1
x

35.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №5.
Дифференциал функции

36.

Дифференциал функции
Дифференциалом функции в точке
называется главная, линейная относительно
приращения аргумента часть приращения
функции, равная произведению производной
функции на приращение её аргумента
dy y ' ( x0 ) x.

37.

Задача
Найдём дифференциал функции y(x)=x :
По определению dy y ' x x ' x x,
но y x dy dx
dx x.
Получили, что дифференциал независимой
переменной равен приращению этой
переменной.
dy
'
'
Следовательно
dy y dx или y .
dx

38.

Дифференциал функции
y
y
0 x x x
y y
MK y
ML dy
K
L
N M
x dx
x

39.

Дифференциал функции
Геометрический смысл дифференциала
функции в точке: Дифференциал функции в
точке численно равен приращению ординаты
касательной, проведённой к графику функции
в этой точке, при изменении абсциссы этой
точки на соответствующее приращение.
Свойства дифференциала функции
аналогичны свойствам производной.

40.

Дифференциал функции
Нахождение дифференциала от
дифференциала ведёт к нахождению
дифференциала высших порядков (от второго
порядка и выше).
d (dy( x)) d y
2
d y y
n
( n)
( x) dx

41.

Задача
Пример. Вычислить приближённо синус 39
градусов с точностью до 0,01.
Решение:
sin 39 sin(
0
6
y sin x, dx
20
).
0,157, dy y ' ( x0 )dx,
20
y (39 0 ) y (30 0 ) y ' (300 )dx
y (39 ) 0,5 cos 30 dx
0
0
y (39 0 ) 0,5 0,85 0,157 0,63.

42.

Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Конец темы