Логарифмические неравенства

1.

Логарифмические
неравенства
Для добавления текста
щелкните мышью

2.

Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма,
называется логарифмическим: loga f(х) > loga g(х) .
Решение
При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие
свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической
функции и область ее определения. Неравенство loga f(х) > loga g(х)
равносильно системе f(x) > g(x) > 0 при a > 1 и системе 0 < f(x) < g(x) при
0 < а < 1.

3.

При
изучении логарифмических
функций рассматриваются
неравенства вида:
logax < b
logax ≥ b

4.

logax > logay
x>0; y>0
1)
2)
eсли а>0, то x>y
eсли 0<a<1, то x<y

5.

Пример №1
Решить
неравенство: log 3(x+2)<3
3
log 3(x+2)<log33
a=3; 3>0 => функция возрастает
x+2<27
x+2<27
x<25
x+2>0
x>-2
Ответ: (-2;25)

6.

Пример №2
Решить неравенство:log0,5(2x+1)>-2
a=0,5; 0<0,5<1 => функция убывает
log0,5 (2x+1)> log0,54
2x+1<4
2x+1<4
2x<3 x<1,5
2x+1>0
2x>-1 x>-0,5
Ответ: (-0,5;1,5)

7.

Решите устно:
log2x>1
ответы:
(2;∞)
(9;∞)
[1;∞)
log3x>2
log5x≥0
log0,5x≥0
(-∞;1]

8.

log2x≤1
ответы:
(0;2]
(0;9)
log3x<2
log2x<1/2
(0;√2)
log3x<0
(0;1)

9.

Решите неравенства:
log3(x-2)>1
a>1 = >функция возрастает
x-2>3
x-2>3 x>5
x-2>0 x>2
ответ: (5;∞)
log2(x-3)>5
a>1 = >функция возрастает
x-3>32
x-3>32
x>35
x-3>0
x>3
ответ: (35;∞)

10.

lg(x-3)≥2
a>1 = >функция возрастает
x-3≥100
x-3≥100
x≥103
x-3>0
x>3
ответ: [103;∞)
lg(x-1)≤0
a>1 = >функция возрастает
x-1≤1
x-1 ≤1
x ≤2
x-1>0
x>1
ответ: (1;2]