Функция регрессии

1. Функция регрессии

Зависимость СВ
Функциональная
Стохастическая
Компоненты системы НСВ независимы
f x, y f X x f Y y
f y x f Y y f x y f X x
M X y x f x y dx M Y x
M X y y
y f y x dy
M Y x x
1

2. Свойства функции регрессии

Р1 Y не зависит от X
y x константа
Р2
M Y u X M X u X
Р3
M Y X M Y g X
Следствие Р2
Следствие Р3
2
M Y M X
D Y D X
2
При u(X)=1
При g(x)=M(Y)
Обозначения: y x функция регрессии Y на Х;
u(x), g(x) – произвольные функции, имеющие м.о.
2

3. Доказательство свойств

Р1
Y не зависит от X
x M Y x
f y x f Y y
y
f
y
x
dy
y
my
mx
y f y dy m
Y
Y
x
3

4. Доказательство свойств

Р2
M Y u X
y u x f x, y dxdy
y u x f X x f y x dxdy
u x f X x y f y x dy dx
u x f X x x dx M X u X
4

5. Основное свойство регрессии

M Y X M Y g X
Р3
2
2
Функция регрессии - наилучшее
среднеквадратичное приближение СВ Y
Интерполяция
Среднеквадратичное
приближение
n
n
i 1
yi g xi 0
yi g xi
i 1
2
min
5

6. Доказательство свойства

M Y X M Y g X
Р3
2
2
M Y g X M Y X X g X
2
2
2
2
M Y X M X g X
2M Y X X g X
u( x )
6

7. Функция регрессии

Доказательство
свойства
M Y X M Y g X
Р3
2
2
M Y g X M Y X M u X
2
2
2
2M Y X u X
M Y X M u X
2
2
0
2 M Y u M X u M Y X
0
2
7

8. Функция регрессии

Пример. Найти функцию регрессии y на x, если
2 x y при 0 y x 1,
f x, y
0 при остальных x и y
y
y=x
Решение.
2 x y
f y x
ïðè 0 y x
2
3x
1
х
2 x y
0
3x 2
M Y x y f y x dy y
x
x
2 5 3 5
2 xy
y
2 xy y dy
x x
2
9
3
3x 0
3x 6
3x 2 2
8
0
2
x
2
2
3
5
dy y x
9