Основы теории вероятностей
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторика –
Теоретические исследования вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые
1 ?
ПРАВИЛО СУММЫ
ТУРЦИЯ
ЕГИПЕТ
ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Правило суммы
Правило произведения
2? Выборки элементов
Размещения
a, b, c
Число размещений из n элементов по k
Число размещений из 3 элементов по 2
a, b, c
n=k
Перестановки
a, b, c
Число перестановок из n элементов
Число перестановок из n элементов
Число перестановок из 3 элементов
a, b, c
Сколько перестановок можно сделать из букв слова
Число перестановок из 5 элементов
Сочетания
a, b, c
Число сочетаний из n элементов по k
Число сочетаний из 3 элементов по 2
На тренировке занимаются 15 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Число сочетаний из 15 элементов по 5
3? Выборки с повторениями
Размещения с повторениями из n элементов по k
a, b, c
Число размещений с повторениями из n элементов по k
Число размещений с повторениями из 3 элементов по 2
a, b, c
Код Морзе
Перестановки с повторениями
в которых есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д.
Сколько перестановок можно сделать из букв слова
АНАГРАММЫ
АРХИМЕД (ок. 287 – 212 до н.э.)
АНАГРАММЫ
Сочетания с повторениями из n элементов по k
a, b, c
Число сочетаний с повторениями из n элементов по k
Число сочетаний с повторениями из 3 элементов по 2
a, b, c
Число сочетаний с повторениями из 4 элементов по 5
Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи.
12.86M

Основы теории вероятностей. (Лекция 1)

1. Основы теории вероятностей

16.05.16
Харламова Ирина Юрьевна

2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Общие правила комбинаторики.
2. Выборки элементов.
3. Выборки элементов с повторениями.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

3. Комбинаторика –

область математики, в которой изучаются
вопросы о том, сколько различных
комбинаций, подчиненных тем или иным
условиям, можно составить из элементов,
принадлежащих заданному множеству.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

4.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни
привилегированных слоев тогдашнего общества
большое место занимали азартные игры.

5. Теоретические исследования вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые

Теоретические исследования
вопросов комбинаторики
предприняли в XVII веке французские
ученые
Пьер Ферма
(1601-65)
Блез Паскаль
(1623-62)

6.

Яков
Бернулли
(1654-1705)
Готфрид
Лейбниц
(1646-1716)
Леонард
Эйлер
(1707-1783)

7. 1 ?

1?
ОБЩИЕ ПРАВИЛА
КОМБИНАТОРИКИ
16.05.16
Харламова Ирина Юрьевна

8. ПРАВИЛО СУММЫ

Если некоторый объект А можно выбрать
m способами, а другой объект В можно
выбрать k способами, то выбор
«либо А, либо В»
можно осуществить m+k способами.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

9. ТУРЦИЯ

1
ТУРЦИЯ
3
2

10. ЕГИПЕТ

1
2

11.

1
1
2
2
3
3 +2 =5

12. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если объект А можно выбрать m способами, и
если после каждого такого выбора объект В
можно выбрать k способами, то выбор пары
объектов
АиВ
в указанном порядке можно осуществить
m k способами.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

13.

1
ТУРЦИЯ
3
2

14.

ЕГИПЕТ
1
2

15.

2
1
3
1
2
2
3
1
2 3= 6

16.

1
2
3
1
1
1
1
2
3
2
2
2

17. Правило суммы

2
+
4
=6

18.

456321

19. Правило произведения

2
4
=8

20.

47136582

21. 2? Выборки элементов

Размещения
Сочетания
Перестановки
16.05.16
Харламова Ирина Юрьевна

22. Размещения

Размещениями из n элементов по k
называются такие выборки, которые,
имея по k различных элементов,
выбранных из числа данных n,
отличаются одна от другой либо
составом элементов, либо порядком
их расположения.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

23. a, b, c

ac
ab
bc
составом
ba
Харламова Ирина Ю
ca
cb
п
о
р
я
д
к
о
м
16.05.16

24. Число размещений из n элементов по k

n
!
k
An
(n k )!
1 2 3 ... n, если n 0;
n!
если n 0.
1,
Харламова Ирина Ю
16.05.16

25. Число размещений из 3 элементов по 2

3!
A
(3 2)!
2
3
3! 1 2 3
6
1!
1
Харламова Ирина Ю
16.05.16

26. a, b, c

ac
ab
bc
составом
ba
Харламова Ирина Ю
ca
cb
п
о
р
я
д
к
о
м
16.05.16

27.

В турнире по футболу участвуют
18 команд. Борьба идет за золотые,
серебряные и бронзовые медали.
Сколькими способами медали
могут быть распределены между
командами?

28.

A B C D E F
G
K
L
M N O P Q R
J
H
I

29.

A
B
1
2
A
2
D
2
C
C
3
2
1
B
1
C
B
3
2
C
1
B
A
C
3
2
A
C
3
2
C
1
B
A
A
3
2
D
1
A
A
D
3
2
1
3
C
B
1
3
C
B
1
3

30.

18!
A
(18 3)!
3
18
18! 1 2 3... 15 16 17 18
15!
1 2 3... 15
16 17 18 4896.

31. n=k

Соответствующие
этому
случаю размещения называют
перестановками.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

32. Перестановки

Перестановками из n элементов
называются
такие
выборки,
которые, имея по n различных
элементов, отличаются одна от
другой лишь порядком следования
этих элементов.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

33. a, b, c

abс
aсb
baс
порядком
bсa
Харламова Ирина Ю
сba
сab
16.05.16

34. Число перестановок из n элементов

n!
Pn A
(n n)!
n! n!
n!
0! 1
n
n
Харламова Ирина Ю
16.05.16

35. Число перестановок из n элементов

Pn n!
Харламова Ирина Ю
16.05.16

36. Число перестановок из 3 элементов

P3 3!
1 2 3 6
Харламова Ирина Ю
16.05.16

37. a, b, c

abс
aсb
baс
порядком
bсa
Харламова Ирина Ю
сba
сab
16.05.16

38.

A
B
1
2
A
2
C
C
3
2
B
1
B
C
1
3
B
2
A
C
3
2
C
1
A
B
1
A
A
3
2
3
C
B
1
3

39. Сколько перестановок можно сделать из букв слова

40.

т юир с
юр
с ют ир юр
т
ю
т
с
ю
р
р
с
и
р
ю
р
и
ю
ю ри с т
ию
юю
р
ри с т ю
рс т р
ю
р
и
ю
ри
ю
с
т
с
т
р
р
ю
и
ю

41. Число перестановок из 5 элементов

P5 5!
1 2 3 4 5
120
Харламова Ирина Ю
16.05.16

42. Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k
называются такие выборки, которые,
имея по k различных элементов,
выбранных из числа данных n,
отличаются только составом элементов
(порядок расположения элементов
значения не имеет).
Харламова Ирина Ю
16.05.16

43. a, b, c

ab
ac
bc
составом
Харламова Ирина Ю
16.05.16

44. Число сочетаний из n элементов по k

n
!
k
Cn
k! (n k )!
Харламова Ирина Ю
16.05.16

45. Число сочетаний из 3 элементов по 2

3!
C
2! (3 2)!
k
n
3! 1 2 3
3
2! 1! 1 2
Харламова Ирина Ю
16.05.16

46. На тренировке занимаются 15 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

47. Число сочетаний из 15 элементов по 5

15!
C
5! (15 5)!
5
15
15! 11 12 13 14 15
5! 10!
1 2 3 4 5
3003

48. 3? Выборки с повторениями

Размещения
с повторениями
Сочетания с повторениями
Перестановки с повторениями
16.05.16
Харламова Ирина Юрьевна

49. Размещения с повторениями из n элементов по k

Размещениями с повторениями из n
элементов по k называются такие выборки,
которые, имея по k элементов, выбранных
из числа данных n элементов, отличаются
одна от другой либо составом элементов,
либо порядком их расположения, причем
один и тот же элемент может входить в
выборку более одного раза.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

50. a, b, c

ab
ac
bc
ba
ca
cb

bb
cc
Харламова Ирина Ю
16.05.16

51. Число размещений с повторениями из n элементов по k

~k
k
An n
Харламова Ирина Ю
16.05.16

52. Число размещений с повторениями из 3 элементов по 2

~2
2
A3 3 9
Харламова Ирина Ю
16.05.16

53. a, b, c

ab
ac
bc
ba
ca
bc

bb
cc
Харламова Ирина Ю
16.05.16

54. Код Морзе

Самуэль Морзе
(1791-1872)
При передачи сообщений по
телеграфу используется код
Морзе. В этом коде буквы,
цифры и знаки препинания
обозначаются точками и тире.
Можно ли передавать
сообщение с помощью четырех
знаков?

55.

С помощью одного
знака можно передать
только
2 буквы:
С помощью двух
знаков можно
передать 4 буквы:

•–
Е • и Т–
~2
2
A2 2 4

– –

56.

С помощью трех
знаков можно
передать 8 букв:
С помощью
четырех знаков
можно передать 16
букв:
~3
3
A2 2 8
~4
4
A2 2 16
Общее число букв, которые можно
передать четырьмя знаками :
2+4+8+16=30

57.

В русском алфавите 33 буквы, также
надо передавать цифры и знаки
препинания .
Следовательно, 4 знаков не хватит.
~5
5
A2 2 32
30+32=62
Э••–•

58. Перестановки с повторениями

Перестановки, в которых хоть
один элемент встречается более
одного раза, называются
перестановками с повторениями.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

59. в которых есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д.

Число перестановок с
повторениями из n
элементов,
в которых есть n1 элементов
одного
вида, n2 элементов другого вида и т.д.
~
Pn (n1 , n2 ,..., nk )
n!
n1! n2 ! ... nk !
n1 n2 ... nk n
Харламова Ирина Ю
16.05.16

60. Сколько перестановок можно сделать из букв слова

61.

ПРОКУРОР
ПРОКУРОР
ПРОКУРОР
ПР
КУРОР
КОР

62.

n=8: ПРОКУРОР
П n1=1
Р n2=3
О n3=2
К n4=1
У n =1

63.

8!
P8 (1,3,2,1,1)
1! 3! 2! 1! 1!
3360
1 3 2 1 1 8

64. АНАГРАММЫ

До XVII столетия
почти не было
научных журналов.
Ученые узнавали о
трудах своих коллег
или из книг, или из
частных писем.

65. АРХИМЕД (ок. 287 – 212 до н.э.)

66. АНАГРАММЫ

НАСОС
Харламова Ирина Ю
СОСНА
16.05.16

67.

aaaaaaa, ccccc, d,
eeeee, g, h, iiiiiii, lll,
mm, nnnnnnnnn,
oooo, pp, q, rr, s, ttttt,
uuuuu.
Христиан Гюйгенс
(1629-1695)

68.

«Окружен
кольцом
«Annulo cingitur
tenui,тонким,
plano,
плоским,
нигде
не
nusquam
cohaerente,
ad
eclipticam
подвешенным, наклонным к
inclinato»
эклиптике»

69.

aaaaaaa, ccccc, d,
eeeee, g, h, iiiiiii, lll,
mm, nnnnnnnnn,
oooo, pp, q, rr, s, ttttt,
uuuuu.
Христиан Гюйгенс
(1629-1695)

70.

a
7
n
9
c
5
o
4
d
1
p
2
e
5
q
1
g
1
r
2
h
1
s
1
i
7
t
5
l
3
u
5
m
2
всего
61
P (7,5,1,5,1,1,7,3,2,9,4,2,1,2,1,5,5) ?

71.

P (7,5,1,5,1,1,7,3,2,9,4,2,1,2,1,5,5)
61!
7! 5! 1 !5! 1! 1! 7! 3! 2! 9! 4! 2! 1! 2! 1! 5! 5!
1060

72. Сочетания с повторениями из n элементов по k

Сочетаниями с повторениями из n
элементов по k называются такие выборки,
которые, имея по k элементов, выбранных
из числа данных n элементов, отличаются
друг от друга только составом элементов
(порядок расположения элементов значения
не имеет), причем один и тот же элемент
может входить в выборку более одного раза.
Харламова Ирина Ю
16.05.16

73. a, b, c

ab
ac
bc

bb
cc
Харламова Ирина Ю
16.05.16

74. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k

~k
k
Cn Cn k 1
Харламова Ирина Ю
16.05.16

75. Число сочетаний с повторениями из 3 элементов по 2

~2
2
2
C3 C3 2 1 C4
4!
4!
6
(4 2)! 2! 2! 2!

76. a, b, c

ab
ac
bc

bb
cc
Харламова Ирина Ю
16.05.16

77.

В гастрономе
имеются подарочные
коробки конфет четырех
наименований. Сколькими
способами можно заказать набор из 5 коробо

78.

79.

80. Число сочетаний с повторениями из 4 элементов по 5

~5
5
5
C4 C4 5 1 C8
8!
8!
56
(8 5)! 5! 3! 5!
Харламова Ирина Ю
16.05.16

81.

Что с
чем
носит
ь
5 7=35

82.

Идеально Нарядно.
. Но
А носков
только,
не надо.
пожалуй- Ноги
ста, без потом
помоешь...
носков!
Нет это
не
Рио-деЖанейро
На босу но- Не ой. Но
гу - круче, с в Америке,
носками
(белыми
например,
спортивны- так очень
ми) – гигие- даже ходят
ничнее
Джинсы вещь демократичная. Но не
до такой же
степени
С черными
носками - Тоже
Если
однозначно
носки, то На босу но- подходит.
гу - есть
только
шанс про- (Носкам
белые
бой!).
колоться
Либо на
босу ногу,
либо с
белыми
носками.
На босу
ногу очень
стильно. С
носками очень пожлобски
Лучше,
С голубы- Работает.
если
ми класси- Если так
уж хочется
джинсы
ческими
черные или джинсами - надеть
то,что
темносюда
надо.Носки носки - то
синие, с
или только
модными белые
отворотами на босу
темные.
Мокасины
с костюВ
гробу
Увольне- Слишком
Носки под мы
не
Носки
под
модно. В мом
ние
цвет брюк, видали цвет
носят.
банке тебя Даже
ремень - такое
гарантиро
точно не настоящи
костюма вано
под цвет
поймут
е
сочетани
ботинок
индейцы.
е
Лучше,
если
брюки без
отворотов. Без
носков
актуально,
но не поделовому
Самый
писк.
На босу Особенно
А галстук На босу Ну вы,
если шорты Только на Забудь об
на голую ногу или батенька, ногу,
ниже колена босу ногу этом!
грудь
естествен
и не
повязать? с белыми оригинал! -но
спортивные.
носками
А пятки ухоженные
Полегче на Не
годится,
поворотах.
Классические даже
офисные
ботинки под если
черные брю- шнурки
ки подходят погладит
очень редко
С черными Ни в
носками - городе
всегда
Богдан,
пожалуй- ни в селе
ста
Селифан
Можно
даже в
клуб.
Вместо
носков –
аккуратный
педикюр
С темными носкахороНи в коем ми
шо.
Без
разе
носков еще
лучше

83. Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи.

Число, положение
и комбинация - три
Дж.
Сильвестр
(1844
г.)
взаимно пересекающиеся,
но различные сферы мысли,
к которым можно отнести все
English     Русский Правила