Тригонометрические уравнения

1. Способы решения тригонометрических уравнений

Уравнения , приводимые к квадратным
уравнениям
Однородные уравнения
Разложение на множители
Замена переменной
Метод вспомогательного угла
Понижение степеней

2. уравнения,приводимые к квадратным уравнениям

2cos²x+sinx+1=0
2*(1-sin²x)+sinx+1=0
2-2sin²x+sinx+1=0
-2sin²x+sinx+3=0
Пусть a=sinx
-2a²+a+3=0
a1=-1, a2=1,5
Sinx=-1
sinx=1,5
X=-П/2+2Пn, нет корней

3. Однородные уравнения

3sin²x+sinx cos x=2cos²x
Делим на sin²x обе части уравнения
3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x
Известно ,что ctg x= cos x/sin x
Получим 3+ctgx=2ctg²x
Пусть a=ctg x
3+a=2a²
2a²-a-3=0
a1=1,5 a2=-1
Получим ctg x=1,5 ctg x=-1
X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm

4. Разложение на множители

4sin²x-sin2x=0
4sin²x-2sinx cosx=0
2sinx(2sinx-cosx)=0
Sinx=0 или 2sinx-cosx=0
x1=Пn
2sinx-cosx=0
sinx sinx
2-ctgx=0
ctgx=2
X2=arcctg2+Пk

5. Замена переменной

2(1+tgx) - 3
=5
1+tgx
Пусть y=1+tgx
2y - 3 =5
Y
2y²-3=5y
y≠0
2y²-5y-3=0
y1=3 , y2=-0,5
1+tgx=3
1+tgx=-0,5
tgx=2
tgx=-1,5
X 1=arctg2+Пn
x 2=-arctg1,5+Пk

6. Метод вспомогательного угла

Cos3x+sin3x=1
√A²+B²=√1²+1²=√2
Делим обе части уравнения на √2
1 cos3x+1 sin3x=1
√2
√2
√2
Пусть cosφ=1/√2 , sinφ=1/√2,φ=П/4
cosφ cos3x+sinφ sin3x=1/√2
Cos(3x-φ)=1/√2
3x-φ=±П/4+2Пn
3x=±П/4+φ+2Пn,
X=±П/12+П/12+2Пn/3

7. Понижение степеней

4
4
Sin x+cos x=1/2
(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2
Известно,что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)=
2
=1+cosx
2
1-cos2x ²+ 1+cos 2x ²
2
2
=1
2
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=2
2cos²x=0
cosx=0
X=П/2+Пn