Геометрия 9 класс
Содержание
Основные понятия
Основные понятия
Основные понятия
Свойства вписанных углов
Свойства вписанных углов
Свойства вписанных углов
Свойства вписанных углов
Свойства вписанных углов
Вневписанная окружность
Вневписанная окружность
Вневписанная окружность
492.00K
Категория: МатематикаМатематика

Окружность и ее элементы (Геометрия 9 класс)

1. Геометрия 9 класс

Окружность и ее элементы

2. Содержание









Основные понятия
Свойства вписанных углов
Углы, связанные с окружностью
Отрезки, связанные с окружностью
Теорема Птолемея
Окружность, вписанная в многоугольник
Окружность, описанная около многоугольника
Вневписанная окружность

3. Основные понятия

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на
заданное расстояние от заданной точки (центра).
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
O
O
Радиус — отрезок, соединяющий точку окружности с центром.
O
Содержание

4. Основные понятия

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.
O
O
Секущая — прямая, проходящая через две произвольные точки
окружности.
Содержание

5. Основные понятия

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности,
перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью
только одну общую точку.
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами.
Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
O
O
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны являются ее хордами.
O
Содержание

6. Свойства вписанных углов

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
1) Центр на одной из сторон.
B
ABC — вписанный угол, BA и BC — хорды, OA — радиус.
Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник OAB:
OB OA
O
A
Следовательно, он равнобедренный
иA B
Угол AOC — внешний, следовательно,
AOC A B 2 B
C
Следовательно,
1
B AOC
2
Угол AOC измеряется дугой AC, следовательно, его половина измеряется половиной дуги AC.
Что и требовалось доказать.
Содержание

7. Свойства вписанных углов

B
2) Центр лежит внутри угла ABC.
ABC — вписанный угол, BD — диаметр,
ABC ABD DBC
По свойству 1:
ABC ABD DBC
Следовательно,
1
1
AC DC
2
2
1
ABC CA
2
O
C
D
A
Что и требовалось доказать.
B
3) Центр лежит вне угла.
AOB — вписанный угол, BD — диаметр.
ABC ABD CBD
Что и требовалось доказать.
O
1
1
1
DA DC CA
2
2
2
A
C
D
Содержание

8. Свойства вписанных углов

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Доказательство.
и — вписанные углы, KL — дуга.
По свойству 1:
Следовательно,
1
KL
2
1
KL
2
O
K
L
Что и требовалось доказать.
Содержание

9. Свойства вписанных углов

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
A
Доказательство.
— внутренний угол, BC — диаметр.
B
O
C
По свойству 1:
1
BC
2
Так как BC — полуокружность, следовательно, BC 180
Таким образом,
1
1
BC 180 90
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание

10. Свойства вписанных углов

4. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
Доказательство.
AB CD , AB и CD — хорды.
A
O
1. Проведем радиусы R OA OB OC OD
2. Треугольники OAB и OCD равны, т.к.
B
C
D
OA OB OC OD (радиусы).
BOA
Следовательно,
1
1
AB и DOC DC
2
2
BOA DOC
В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны,
следовательно, AB CD
Что и требовалось доказать.
Содержание

11.

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися
хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
A B
B A
A
2
Доказательство.
O
Угол — внешний угол треугольника DOB.
B A
2
C
B
B
2
A
2
D
Что и требовалось доказать.
Содержание

12.

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной
точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
A B
2
M
A
Доказательство.
B
2
По теореме о внешнем угле треугольника MBC:
A
B
A B
2
2
2
Что и требовалось доказать.
B
B
A
2
C
A
D
Содержание

13.

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания).
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги,
стягиваемой этой хордой.
A
Доказательство.
1. Проведем диаметр.
2. Угол
опирается на дугу A
2
Тогда,
1
A
A
( A)
2
2
2
2 2
2
B
O
2
A
A
Что и требовалось доказать.
Аналогично для тупого угла
Содержание

14.

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен
полуразности высекаемых ими дуг.
Доказательство.
C
1
По теореме о вписанных углах: A
2
.
1
По теореме об угле между касательной и хордой B
2
— внешний угол треугольника ABM.
A
B
B
A
1 1
A B
A B
2
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание
M

15.

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из
одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство.
Проведем радиусы в точки касания, они перпендикулярны
касательным.
90 90 B 360 180 B
Примечание.
Тогда
A
B
B
A B
180
2
A B A B
B
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание

16.

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны.
Доказательство.
B
AOB AOC , так как гипотенуза OA — общая,
OB OC — радиусы.
A
O
Следовательно,
AB AC
С
Что и требовалось доказать.
.
Содержание

17.

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной
окружности величина постоянная.
ab cd
A
Доказательство.
a
Пусть AB и CD — данные хорды, O — точка пересечения.
Проведем хорды AC и BD.
d
D
c
O
b
C
B
AOC ~ DOB , так как AOC DOB — вертикальные,
CAB CDB — опираются на дугу CB.
Тогда
a c
ab cd
d b
Что и требовалось доказать.
Содержание

18.

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина
постоянная.
( a b) b (c d ) d
Доказательство.
Проведем хорды AC и BD.
A
a
B
AMC ~ DMB (по двум углам):
AMD — общий,
D
d
C
b
c
M
MAC BDC — опираются на дугу BC.
Тогда
b
c
( a b ) b (c d ) d
c d a b
Что и требовалось доказать.
Содержание

19.

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
c 2 a (a b)
M
с
K
a
Доказательство.
MKB ~ MAK, так как KMA — общий,
MKB KAB
B
1
KB
2
b
A
Тогда
c
a
c 2 a ( a b)
a b c
Что и требовалось доказать.
Содержание

20.

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается,
равно двум радиусам (теорема синусов).
A
Доказательство.
A
R
A A , так как они опираются на одну дугу BC.
R
a
a
2R
sin A sin A
a
B
С
Что и требовалось доказать.
Содержание

21.

Теорема Птолемея
Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин
противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
C
AC BD AB CD AD BC
Доказательство.
1. Проведем диагонали AC и BD.
2. Выберем на диагонали BD точку K так, чтобы BAK CAD
B
3. Тогда треугольники KBA и ACD подобны (по равному по построению A
углу и по углу, опирающемуся на дугу AD); треугольники AKD и ABC
подобны (по двум углам: BAC KAD (по построению) и BDA BCA).
4. Тогда:
K
D
| BK | | CD |
| BA | | AC |
| BK | | AC | | CD | | BA |
|
AD
|
|
AC
|
|
AD
|
|
BC
|
|
AC
|
|
KD
|
| KD | | BC |
| AC | (| BK | | KD |) | AB | | CD | | AD | | BC |
| AC | | BD | | AB | | CD | | AD | | BC |
Что и требовалось доказать.
Содержание

22.

Окружность, вписанная в многоугольник
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
1) В любой треугольник можно вписать окружность.
r
S
, где p — полупериметр.
p
Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
Содержание

23.

Окружность, вписанная в многоугольник
2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
a
d
d
AK AL , так как AK и AL — касательные к окружности,
проведенные из одной точки.
Аналогично с остальными отрезками.
b
b
L
a
K
c
c A
Тогда сумма противоположных сторон есть для данного четырехугольника величина
постоянная.
Содержание

24.

Окружность, вписанная в многоугольник
3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него
можно вписать окружность.
Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон,
а средняя линия — полусумме боковых сторон.
a
m
a b c d
2
2
c
m
d
b
Содержание

25.

Окружность, описанная около многоугольника
Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
1) Около любого треугольника можно описать окружность.
C
B
4S
R
abc
O
S 2R 2 sin sin sin
A
Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам.
Содержание

26.

Окружность, описанная около многоугольника
2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
A
С
1
BCD
2
B
A
1
DAB
2
Тогда
A C
1
( BCD DAB) 180
2
C
D
Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
Содержание

27. Вневписанная окружность

Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и
продолжения двух других его сторон.
Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с
продолжением его боковой стороны равно полупериметру p.
A
с
b
С
a B
Доказательство.
N
H
M
1. | AN | | AM | — отрезки касательных, исходящих из одной точки.
| CH | | CN | , | HB | | BM |
2. P | AC | | CH | | AB | | HB | | AN | | AM | 2 | AN |
Таким образом, | AN | p
Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его
периметр пополам: | AC | | CH | p
Следствие:
| CH | p | AC | p c
| HB | p b
.
Содержание

28. Вневписанная окружность

Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле:
S
p a
ra
Доказательство.
A
C
1. Площадь четырехугольника ONAM:
SONAM S AOM S AON
1
1
ra | AM | ra | AN |
2
2
ra | AM | p ra
B
H
N
ra
M
O
2. Площадь четырехугольника ONAM:
SONAM S ABC SOMBCN S ABC 2S BOH 2SCHO
1
S ABC 2SBOC S ABC 2 ra a S ABC ra a
2
3. Таким образом,
.
ra p S ABC ra a ra ( p a) S ABC ra
Что и требовалось доказать.
S ABC
p a
Содержание

29. Вневписанная окружность

Теорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S ra rb rc r
Доказательство.
ra rb rc r
S
S
S S
p a p b p c p
S4
S4
ra rb rc r
ra rb rc r 2
p( p a)( p b)( p c)
S
ra rb rc r S 2 S ra rb rc r
Что и требовалось доказать.
Содержание

30.

Конец
Начать заново
Завершить показ
English     Русский