АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ СИММЕТРИИ
3. ДРУГИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ
4. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР
5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР
7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
9. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
10. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
11. ПРИМЕР В.Ф. ЖУРАВЛЕВА
628.00K
Категории: ФизикаФизика МеханикаМеханика

Лекция 8. Аналитическая механика. Теорема Эмми Нётер

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ЛЕКЦИЯ 8:
ТЕОРЕМА ЭММИ НЁТЕР

2. 1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

Механическая система определена функцией Лагранжа L q, q, t
Замена переменных t , q tˆ, qˆ
Решения q(t ) системы уравнений Лагранжа с функцией L q, q, t преобразуются в решения qˆ (tˆ) системы уравнений Лагранжа с функцией Lˆ qˆ , qˆ , tˆ
dt
Lˆ tˆ, qˆ , qˆ L t , q, q
dtˆ tˆ,qˆ
t tˆ ,qˆ t (tˆ, qˆ )
qi tˆ,qˆ qi (tˆ, qˆ )
dt
t (tˆ, qˆ ) n t (tˆ, qˆ )
qˆk
ˆ
ˆ
dt tˆ,qˆ
t
qˆk
j 1
dqi
dt
tˆ , qˆ
qi (tˆ, qˆ ) n qi (tˆ, qˆ )
qˆk

qˆk
j 1
t (tˆ, qˆ ) n t (tˆ, qˆ )
qˆk
ˆ
t
qˆk
j 1

3. 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ СИММЕТРИИ

Преобразование вариационной симметрии в системе с функцией
Лагранжа L q, q, t - неособое преобразование t , q tˆ, qˆ расширенного координатного пространства, удовлетворяющее условию
Снята шляпа!
dt
ˆ
ˆ
ˆ
L t , q, q L t , q, q
dtˆ
Снятие шляпы означает, что qˆ (tˆ) является решением той-же самой
системы, что и q(t )
Преобразование симметрии в уравнениях Лагранжа –неособое
преобразование t , q tˆ, qˆ расширенного координатного
пространства, поточечно переводящее каждое решение q(t ) в рещение qˆ (tˆ)
той же системы.
Преобразование вариационной симметрии есть преобразование симметрии.
Есть симметрии отличные от вариационной

4. 3. ДРУГИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ

Дивергентные симметрии: такие, для которых выполняется условие
ˆ, qˆ )
df
(
t
dt
ˆ
ˆ
ˆ
L t , q, q
L t , q, q
ˆ
dt
dtˆ
Добавление к лагранжиану полной производной от функции, зависящей
от обобщенных координат и времени не изменяет систему уравнений
Лагранжа принцип Гамильтона для L и L df dt записывается
одинаково
t1
t1
df (t , q)
t L dt dt t Ldt f (tˆ1, qˆ1 ) f (tˆ0 , qˆ0 )
0
0
число
Конформные симметрии: такие, для которых выполняется условие
dt
L tˆ, qˆ , qˆ C L t , q, q , C const
dtˆ
Следствие однородности системы уравнений Лагранжа

5. 4. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР

Пусть материальная система описывается лагранжианом L и пусть существует
однопараметрическое семейство преобразований вариационной симметрии
tˆ tˆ t , q; , qˆ qˆ t , q;
тождественных при 0
tˆ t , q;0 t , qˆ t , q;0 q
Тогда у системы есть первый интеграл

qˆi
(q, p, t ) pi
H
i 1
0
0
n
n
L
pi
, H t , q, p pi qi L t , q, q
qi
i 1

6. 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР

q

q1
tˆ tˆ t , q;
q(t )
t
q0
t0
число
qˆ qˆ t , q;
t1
q(t ) - прямой путь ˆ
t1
t1
1
1
0
tˆ1 ( ), qˆ1 ( )
tˆ0 ( ), qˆ 0 ( )
tˆ tˆ(t , q(t ), ), qˆ qˆ (t , q(t ), )
tˆ1

dW
dt ˆ
W
d 0
dt L tˆ, qˆ , qˆ dtˆ
ˆ
d
dt
tˆ0
tˆ0
t0
1
n
t1 n d L L
Вычисляем W pˆ i qˆi Hˆ tˆ
qˆi dtˆ при 0
i 1
0 t0 i 1 dtˆ qˆi qˆi
pˆ 1
p(t1 ), Hˆ
H (t1 , q (t1 ), p (t1 ))
W L t , q, q dt L t , q, q tˆ,qˆ
tˆ 1
0
0
1 0
tˆ(t1 , q(t1 ), )
d
0
qˆi (t1 , q(t1 ), )
d
0
qˆi 1 0

7. 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЭММИ НЁТЕР

q

q1
tˆ tˆ t , q;
q(t )
t
q0
t0
qˆ qˆ t , q;
1
1
0
tˆ1 ( ), qˆ1 ( )
tˆ0 ( ), qˆ 0 ( )
t1
n qˆi
n qˆi


pi
pi
H
H
0
0
i 1
0 t t0 i 1
0 t t1
Прямой путь и точки t0 , t1 были выбраны произвольно

qˆi
pi H const
0
i 1
0
n

8. 7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Обобщенно консервативная система
L L(q, q)
Однопараметрическое семейство преобразований
qˆi qi , tˆ t
Условие вариационной
симметрии
L q, q dt L qˆ, qˆ dtˆ
dtˆ
1,
dt
dqˆ dq
ˆ
dt dt

qˆi
(q, p, t ) pi
H
H
0
i 1
0
n
H const
Закон сохранения энергии – следствие инвариантности лагранжиана
системы относительно сдвига по времени

9. 8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

L L(t , q2 ,
Система с циклической координатой q1
Однопараметрическое семейство преобразований
tˆ t , qˆ1 q1 , qˆi qi (i 2, , n)
Условие вариационной
симметрии
L q, q dt L qˆ, qˆ dtˆ
, qn , q1 ,
, qn )
dqˆ1 dq
ˆ
dt
dt

qˆi
(q, p, t ) pi
p1
H
0
i 1
0
n
p1 const
Закон сохранения импульса для циклической координаты – следствие
инвариантности лагранжиана системы относительно сдвига по этой
координате

10. 9. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Замкнутая система n материальных точек. Потенциальная энергия
взаимодействия точек зависит только от расстояния между ними.
(rik ), rik2 ri rk xi xk yi yk zi zk
1 n
2
2
2 2
L T mi xi yi zi rik
2 i 1
Однопараметрическое семейство преобразований
dxˆi dxi
tˆ t , xˆi xi , yˆi yi ,
zˆi zi
,
ˆ
dt
dt
Условие вариационной
L q, q dt L qˆ, qˆ dtˆ
( xˆi xˆk ) ( xi xk )
симметрии
2
2
2
2
n
n

xˆi
yˆi
zˆi
p x ,i
px ,i mi xi
p y ,i
pz ,i
H
0
0
0
i 1
i 1
0 i 1
n
n
Qx mi xi const
i 1
Закон сохранения количества движения– следствие инвариантности
лагранжиана системы относительно сдвига по пространственной координате

11. 10. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА

Замкнутая система n материальных точек. L 1 m x y z
2
n
i 1
i
2
i
2
i
Однопараметрическое семейство преобразований
tˆ t , xˆi xi cos yi sin , yˆi xi sin yi cos ,
2
2
2 2
i
zˆi zi
2
2
rik
rˆik2 rik2
2
dyi
dyi
dxˆi dyˆi dxi
dxi
dxi dyi
cos
sin
sin
cos
ˆ ˆ
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Условие вариационной симметрии выполнено
n
xˆi
yˆi
zˆi

px ,i
p y ,i
p z ,i
H
0
0
0
i 1
px ,i yi p y ,i xi
n
0
2
i 1
n
K z mi xi yi yi xi const
i 1
Закон сохранения кинетического момента– следствие инвариантности
лагранжиана системы относительно поворотов.

12. 11. ПРИМЕР В.Ф. ЖУРАВЛЕВА

1 dq
L
2 dt
Свободная материальная точка
tˆ te A , qˆ qe B
Семейство преобразований
2
2
dte A 1 dq 2
1 dqˆ dtˆ 1 d qe
2 B A
ˆ
e
A
2 dt dt 2 d te
dt 2 dt
Условие вариационной симметрии выполнено при A 2 B

1 2

2
2
( q, p, t ) p
H
Bpq
p
At
B
pq
p
t
B
qq
q
t
2
0
0
2
B
q q qt const
English     Русский Правила