Прямоугольная система координат

1.

2.

z
ось аппликат
Начало координат точка O
О
Оси координат -
Ox, Oy, Oz
ось ординат
y
Координатные плоскости
Oxy, Oyz, Ozx
x
Система координат
Oxyz

3.

Положительная полуось
z
x
Отрицательная полуось
Отрицательная полуосьО
Положительная полуось
y
Луч, направление
которого совпадает
с направлением
оси, называется
положительной
полуосью,
а другой луч –
отрицательной
полуосью

4.

В прямоугольной
системе координат
каждой точке М
пространства
сопоставляется тройка
чисел, которые
называются
координатами точки
z
M3
M
О
M1
x
M2
y
M (x; y; z)
x = OM1
абсцисса
y = OM2
ордината
z = OM3
аппликата

5.

z
I
O (0; 0; 0)
N (5; 0; 0)
I
D
I
I
F (0; -2; 0)
I
D(0; 0; 4)
I
F
I
I
О
I
M
I
I
I
I
y R(0; 0; -0,5)
S(x; 0; 0) Ox M(0; 3; 0)
I
N
I
I
R
I
x
P(0; y; 0) Oy
T(0; 0; z) Oz

6.

z
I
N (5; 4; 0)
I
A
I
I
F
I
R
I
О
I
I
x
D
I
I
I
I
I
y D(6; 0;-3)
S(x; y; 0) Oxy
I
M C
I
M(7; 0; 2)
I
I
C (2;-1; 0)
R (-3; -3; 0)
F(0; 4; 3)
A(0; -3; 4)
N
P(0; y; z) Oyz
T(x; 0; z) Oxz

7.

Точка лежит
На оси
Ox (x; 0; 0)
Oy (0; y; 0)
Oz (0; 0; z)
В координатной плоскости
Oxy (x; y; 0)
Oyz (0; y; z)
Oxz (x; 0; z)

8.

z
A (4;-2,5; 7)
S
I
R
N
S (5; 4; 8)
I
I
I
I
I
I
A
F(-3; 3;-7)
I
I
I
I
О
I
I
I
I
I
I
I
I
y
N(0; 0; 4)
R(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
D (5; 4;-3)
M
I
C
I
I
I
x
I
M(7; 0;-1)
D
F
C(7; 4;-1)

9.

z
I
I
i =1;
j =1;
k =1
I
Координатные векторы не
компланарны. Поэтому
любой вектор можно
разложение
вектора по
разложить
по координатным
координатным
векторам
векторам,
т.е. представить
в
виде
p = xi + yj + zk
I
j
I
I
I
Iкоэффициенты
причем
разложения определяются
единственным образом.
y
I
I
i
O
I
I
p
I
I
I
F
k
I
i , j и k – координатные векторы
x
p{ x; y; z} координаты вектора
F(x; y; z)

10.

z
Вектор, начало которого
совпадает с началом
координат – радиус-вектор.
I
I
I
S
I
I
I
I
j
I
I
I
I
y
S(4; 5; 8)
p {4; 5; 8}
I
I
I
i
O
I
I
I
I
I
k
I
I
I
I
p
Координаты радиус-вектора
совпадают с координатами
конца вектора.
x
p =4i +5j +8k

11.

z
I
R
OT {4; 5; 0}
I
I
D
OF {-1; 3;-6}
I
I
I
I
I
OD {-1; 3; 3}
I
I
i
I
I
I
I
j
I
y
OE {6; 0; 3}
ON {0; -3; 0}
T
OR {-2; -3; 4}
I
I
I
I
I
E
O
I
NI
I
k
I
I
OM {5; 0; 0}
x
I
M
F

12.

z
0 {0;0;0}
I
O (0; 0; 0)
I
I
0 =0i + 0j + 0k
I
i {1;0;0}
k e
I
j {0;1;0}
rI
i
O
f
I
I
I
j
I
I
I
I
y
k {0;0;1}
e {-1;0;0}
e=–i
r {0;-1;0}
f {0;0;-1}
r=–j
I
I
I
x
f=–k

13.

AB a
AB
A
B
A
a
Перпендикуляр на прямую
B
Перпендикуляр на плоскость

14.

z
M3
Найти проекции точки
М на координатные
плоскости.
Oyz
M(x; y; z)
M2
z
M
О
y
y
M
M1
x
Oxy
M
M
Oxy
Oyz
Oxz
M1 (x; y; 0)
M2 (0; y; z)
M3 (x; 0; z)

15.

Oyz
z
Найти проекции точки
М на оси координат.
M3
M(x; y; z)
z
О
M1
x
M
y
y
M2
M
M
Oxy
M
Ox
Oy
Oz
M1 (x; 0; 0)
M2 (0; y; 0)
M3 (0; 0; z)

16.

z
Координаты равных
векторов равны.
I
I
S
I
c=p
I
p {4; 5; 8}
I
I
I
j
I
I
I
I
I
i
O
I
I
I
I
k
I
c
I
I
I
I
p
x
I
I
y
c {4; 5; 8}

17.

z
I
1) Какой из данных
векторов равен вектору
E
3i –2k
ОM =
D 2) Напишите разложение
вектора ОЕ =
по координатным векторам
I
I
I
y
I
j
I
M
I
x
i,j и k
3) Найдите координаты
вектора ОR
{-2;-3; 3}
T
4) Какой вектор имеет
координаты ОT
{2;3;0}
I
I
i
O
I
I
I
k
NI
-2i +3k
I
I
I
I
I
I
I
I
R
5) Отложите от т.О вектор с координатами
{-2; 3; 2}
ОD

18.

№ 405
АСВОА1С1В1О1 прямоугольный
параллелепипед.
Найти координаты векторов
z
B1
O1
2
A1
О
C1
3
2
A
x
OА1 {2; 0; 2}
OВ1 {0; 3; 2}
OО1 {0; 0; 2}
B
y
OС {2; 3; 0}
OС1 {2; 3; 2}
C
ВС1
АС1
О1С {2; 3; -2}

19.

Координаты вектора
Разложение вектора по
координатным векторам
a {-6; 9; 5}
n {-8; 0; 1}
c {0; -7; 0}
m{4; 0; 0}
r {-5;-8; 3}
s {-7; 1; 0}
e {0;3; 21}
q {0; 0; 2}
? a = – 6i+9j+5k
? n = – 8i+k
? c = –7j
? m =4i
r = –5i –8j +3k
s = –7i + j
e = 3j +21k
q =2k
?
?
?
?

20.

Координаты вектора
a {-6; 9; 5}
n {-8; 0; 1}
c {0; -7; 0}
m{4; 0; 0}
r {-5;-8; 3}
s {-7; 1; 0}
e {0;3; 21}
q {0; 0; 2}
Разложение вектора по
координатным векторам
a = – 6i+9j+5k
n = – 8i+k
c = –7j
m =4i
r = –5i –8j +3k
s = –7i + j
e = 3j +21k
q =2k

21.

10
Каждая координата суммы двух или более
векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов.
Рассмотрим векторы
a {x1;y1;z1}
a = x1i +y1 j +z1 k
b {x2;y2;z2}
b = x2i +y2 j +z2 k
a+b =
+
=
= (x1+ x2)i + (y1 + y2 ) j + (z1 + z2 )k
a +b {x1+x2; y1+y2; z1+z2}

22.

Даны векторы
№ 407
Найдите
a {3; -5; 2}, b {0; 7;-1},
2
c { 3 ; 0; 0}, d {-2,7; 3,1; 0,5}
2
3
2
3
a {3;-5;2}
c +b { ;7;-1} + c { ;0; 0}
+
a
{3;-5;
2}
b {0;7;-1}
{-2,7;
10,1;
-0,5}
d +b
2
c
+a
{3
;-5;2}
a +b {3;2;1}
a +d {0,3; -1,9; 2,5} 3
2
3
a +b +c {3 ; 2; 1}
a +b +d {0,3; 5,1; 1,5}

23.

20
Каждая координата разности двух векторов
равна разности соответствующих координат
этих векторов.
Рассмотрим векторы
a {x1;y1;z1}
a = x1i +y1 j +z1 k
b {x2;y2;z2}
b = x2i +y2 j +z2 k
a–b =
–(
)=
= (x1– x2)i + (y1 – y2 ) j + (z1 –z2 )k
a –b {x1–x2; y1 –y2; z1– z2}

24.

30
Каждая координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
Рассмотрим вектор
a {x; y; z}
a = xi +y j +z k k
a {-2; 1;0} 3
3a {-6; 3; 0}
a {-2; 0; 3} (-2)
ka = kxi +ky j +kz k -2a {4; 0;-6}
ka {kx; ky; kz}
a {-2; 5;-3} (-1)
-a {2; -5; 3}

25.

a-b
b {-8;12;-3}
Найдите координаты вектора
a {-6; 9;1}
2 способ
1 способ
(-1)
-
a - b {2;-3; 4}
+
-b{8;-12;3}
a - b {2;-3; 4}

26.

№409 Найдите координаты вектора
a - b, если
1) a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0}
1 способ
a {5;-1; 1}
b {-2;1; 0}
a - b {7;-2; 1}
2 способ
b {-2;1; 0} (-1)
+
a {5;-1; 1}
-b {2;-1; 0}
a - b {7;-2; 1}

27.

№410
Даны векторы
b {0;-5;-2} c {2; 1;-3}
Найдите координаты вектора p = 3b – 2a + c
a {-1; 2; 0}
1)
3
3)
3b {0;-15;-6}
2)
(-2)
-2a {2;-4; 0}
+
3b – 2a + c {4;-18;-9}

28.

№410
Даны векторы
b {0;-5;-2} c {2; 1;-3}
Найдите координаты вектора q = 3c – 2b + a
a {-1; 2; 0}
1)
c {2; 1;-3} 3
3c {6; 3;-9}
2)
b {0;-5;-2} (-2)
2b {0;10; 4}
3)
3c {6; 3;-9}
+ 2b {0;10; 4}
a {-1; 2; 0}
3c – 2b + a {5;15;-5}

29.

z
Найдите координаты остальных
вершин куба.
D1
A1
C1
B1
D
О
A
x
C
B(3;3;0)
y

30.

z
Найдите координаты остальных
вершин куба.
D1
A1
D
О
A
x
C1
B1
C
B(4;8;0)
y

31.

№408
OA=4
OB=9
OC=2
Найдите координаты векторов
AC, CB, AB, MN, NP, BM, OM, OP.
M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС
z
С
Р
N
М
А
x
k
i
y
j
O
В
Из АОС, AC = AО + ОС = –ОA + ОС = –4i + 2k
AC {-4; 0 ; 2}