Векторы

1. Векторы

Понятие вектора
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сумма двух векторов
Законы сложения. Правило параллелограмма
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число

2. Понятие вектора

Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка
указывает направление силы, а длина отрезка
соответствует числовому значению силы.
8Н

3. Понятие вектора

Рассмотрим произвольный
отрезок. На нем можно указать
два направления.
Чтобы выбрать одно из
направлений, один конец отрезка
назовем НАЧАЛОМ, а другой –
КОНЦОМ и будем считать, что
отрезок направлен от начала к
концу.
Определение.
Отрезок, для
которого указано,
какой из его концов
считается началом,
а какой - концом,
называется
направленным
отрезком или
вектором.

4. Понятие вектора

На рисунках вектор изображается отрезком со
стрелкой
АВ
А
В
Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.
E
F
CD
D
L
K
C
EF
LK

5. Понятие вектора

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской
буквой со стрелкой над ней:
b
c
a
Любая точка плоскости также является вектором, который
называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с
его концом:
М
ММ = 0.

6. Понятие вектора

Длиной или модулем ненулевого вектора АВ
называется длина отрезка АВ:
с
АВ = а = АВ = 5
В
a
с = 17
А
Длина нулевого вектора считается равной нулю:
ММ = 0.
М

7. Коллинеарные векторы

а
Ненулевые векторы
называются
c
коллинеарными,
если они лежат либо на
одной прямой, либо на
параллельных прямых.
Коллинеарные векторы
могут быть
сонаправленными или
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
считается коллинеарным
любому вектору.
b
m
d
s
n
L

8. Равенство векторов

1)
2)
Определение.
Векторы
называются
равными, если
они сонаправлены
и их длины равны.
а = b , если
а
b
а = b
а
c
b
d
m
f
n
s

9. Откладывание вектора от данной точки

Если точка А – начало вектора а , то говорят,
что вектор а отложен от точки А.
А
а
Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору а,
и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто
обозначают одной и той же буквой

10. Сумма двух векторов

Рассмотрим пример:
Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал
в кинотеатр(К).
B
D
K
В результате этих двух перемещений, которые
можно представить векторами DB и BK, Петя
переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:
DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

11. Сумма двух векторов

Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную
точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от
точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b
b
B
a
a
A
b
C

12. Законы сложения векторов

1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой точки
АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах
построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
a
D
C
АС = АD + DС = b+a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
b
A
b
a
B

13. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0

14. Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным
вектору а, если а и b имеют равные длины и
противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
a
b
B
c
-c
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

15. Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b
называется такой вектор, сумма которого с вектором b
равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а - b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
а
-b
-b
а
a-b

16. Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b, длина
которого равна вектору k а , причем векторы а и b
сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k<0.
а
-2a
3а
Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.

17. Умножение вектора на число

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
1)
2)
3)
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях,
содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов
на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в
числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c