Применение комплексных чисел к расчету электрических цепей переменного тока (лекция 5)

1. БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова Кафедра электротехники, О8

Лекция 5
Применение комплексных чисел к расчету
электрических цепей
переменного тока
1

2.

Комплексные числа
Из курса математики известно, что любое комплексное число А можно представить :
1.
2.
3.
4.
A A' jA' '
в алгебраической форме:
в тригонометрической форме: A А cos A sin
A Ae j
в показательной форме:
вектором на комп. плоскости.
j 1
j 2 1
-мнимая единица
A' Re( A) A cos
A' ' Im( A) A sin
- реальная часть комплексного числа А
- мнимая часть комплексного числа А
+j (Im)
A ( A' ) 2 ( A' ' ) 2 -модуль к. числа
A Ae j
A’’
j
e cos j sin -формула Эйлера
arg( A)
-аргумент комп. числа
0
+1 (Re)
A’
2

3.

Комплексные числа
A''
arctg ' , 0; если A' 0
A
A''
arctg ' , 0; если A' 0
A
e j -оператор поворота
Умножение любого числа на ej поворачивает вектор на угол
Умножение любого числа на e j /2 поворачивает вектор на угол 90° против(по)
часовой стрелки
+j
A Ae j
A1 Ae
j
e
j
2
+1
0
A2 Ae j e
j
2
3

4.

Два числа имеющие одинаковые модули и разнознаковые
аргументы называются сопряженными числами.
Комплексное число:
Сопряженное число:
Умножение:
) A' jA' ' Ae j
A(A
*
A A' jA' ' Ae j
*
A A2
A
При сложении (вычитании) комплексных чисел удобно воспользоваться
алгебраической формой записи:
18
jarctg 14
2
2 j 52
j 52
A1 14 18 j A1 e
14 18 e
22,8e
jarctg 37
2
2 j 58
j 58
23
A 2 23 37 j A 2 e
23 37 e
43,57 e
A
14 23 j ( 18 37 ) 37 j19 41,2e j 27
A
1
2
При умножении и делении удобнее пользоваться показательной
формой записи
B 140 e j 78
1
17,5e j 36
B
1
j 78
B
140 j ( 78 36)
j ( 42)
B 1 140 e
e
8e
8 cos 42 j8 sin 42 5,95 j 5,35
3
B
17,5e j 36 17,5
2

5.

В векторной форме:
+j
A 2 43,57 e
37
A1 A2 41,2e j 27
19
14
+1
23
0
-18
j 58
37
A1 22,8e j 52
5

6.

Ток и напряжение в комплексной форме:
Рассмотрим синусоидальный ток
i (t ) I m sin( t i )
Комплексное число
I m e j ( t i ) I m e j i e j t I m e j t
Обведенные выражения соответствуют
максимальному току Im и начальной фазе i
которая вращается с угловой скоростью .
Если воспользуемся формулой Эйлера
I m e j ( t i ) I m cos( t i ) jIm sin( t i )
И сравним полученное выражение с мгновенным током i(t)
i(t ) mI m e j ( t i ) mI m e j ( t )
+j
I m e j ( t i )
t i
+1
Синусоидальный ток равен проекции на мнимую ось (+j) вращающегося вектора
на комплексной плоскости
6

7.

Образы тока, напряжения и ЭДС
Комплексное число
Мгновенное значение
i (t ) I m sin( t i )
u (t ) U m sin( t u )
I
I m e j I cos i jI sin i
2
U m j u
U
e
U cos u jU sin u
2
E m j e
E
e
E cos e jE sin e
2
e(t ) Em sin( t e )
Действующие значения
I
Im
2
U
Um
2
E
Em
2
7

8.

Закон Ома для активного сопротивления, индуктивности и емкости в комплексной форме
i 2 I sin( t i )
I Ie j ( t i )
U r Ie j ( t i ) r
u U sin( t u ) I m sin( t i ) r
Закон Ома для r в комплексной форме
dI sin( t i )
uL L m
dt
j ( t i )
d
I
dIe
U L L
j LIe j ( t i ) Ie j ( t i ) jxL
dt
dt
Закон Ома для L в комплексной форме
1
uC
I m sin( t i )dt
C
U r I r
U L I jxL
1
1
U
Ie j ( t i ) dt
Ie j ( t i ) Ie j ( t i ) ( jxC )
C
j C
Закон Ома для C в комплексной форме
U L I jxC
8

9.

Законы Кирхгофа в комплексной форме
Первый Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных токов в узле равно нулю
n
I 3
I 1
I k 0
k 1
I 1 I 2 I 3 0
I 2
I 1 3,4 j5,7
I 2 7,0 j 2,2
I I I 3,4 j5,7 7,0 j 2,2 3,6 j 7,9
3
1
2
Второй Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных ЭДС в замкнутом контуре равна сумме комплексных падений
напряжения в этом контуре.
p
n
E U
k
k 1
m
m 1
9

10.

Расчёт электрических цепей комплексными числами
i 2 I sin( t i )
Составим второй закон Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:
di 1
u ur u L uC ri L
idt
dt C
Составим второй закон Кирхгофа для образов мгновенных значений напряжений:
U U r U C U L I r I jxL I ( jxC )
I (r jx jx ) I (r j ( x x )) I Z
L
C
L
C
Закон Ома в комплексной форме для действующих значений
U
I
Z
Z –комплексное сопротивление
Z r j ( xL xC ) r jx
10

11.

Последовательное соединение активного сопротивления, реальной катушки
индуктивности и реального конденсатора
Комплексные сопротивления
элементов:
Z1=r
Z2=rC - jxC
Z3=rk+jxL
Zэкв= Z1+ Z2 + Z3 = r+ rC - jxC + rL + jxL
Zэкв= (r + rL + rC )+j(xL - xC )
rэкв
xэкв
rэкв
xэкв
Комплексное эквивалентное сопротивление:
Zэкв =rэкв +jxэкв
Zэкв

12.

Последовательное соединение активного сопротивления, реальной катушки
индуктивности и реального конденсатора (пример)
i 7,07 sin( 314t 30 )
R 27 Ом;
rC 3 Ом; xC 67 Ом;
rL 10 Ом;
xL 37 Ом;
Найти u(t)
Комплекс действующего тока
I
Im
2
Комплекс напряжение найдем по закону Ома
e j 30 5e j 30 А
Экв. комплексное сопротивление
Z ( R rC rL ) j ( xL xC )
(27 3 10) j (37 67) 40 j30 Ом
Мгновенное значение u(t)
U I Z 5e j 30 (40 j 30)
5e j 30 50e j 37 250 e j 7
Амплитуда Um
U m U 2 250 2 353,55 B
u 353,55 sin( 314t 7 )