Моделирование. Модели и моделирование

1. Моделирование

1
Моделирование
§ 6. Модели и моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Что такое модель?

Моделирование, 11 класс
2
Что такое модель?
модели чего?
автомобиль
!
Земля
кристаллическая
решётка
корабль
Моделей без оригинала не существует!
дом
оригиналы
Оригиналы:
• объекты (самолет, дом, ядро атома, галактика)
• процессы (изменение климата, развитие экономики)
• явления природы (землетрясения, цунами)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Что такое модель?

Моделирование, 11 класс
3
Что такое модель?
? Зачем нужны модели?
Нужно решить задачу, связанную с оригиналом, но:
• оригинал не существует
- древний Египет
- последствия ядерной войны (Н.Н. Моисеев, 1966)
• исследование оригинала дорого или опасно
- управление ядерным реактором (Чернобыль, 1986)
- испытание нового скафандра для космонавтов
- разработка нового самолета или корабля
• оригинал сложно исследовать
- Солнечная система, галактика (большие размеры)
- атом, нейтрон (маленькие размеры)
- процессы в двигателе внутреннего сгорания (очень быстрые)
- геологические явления (очень медленные)
• интересуют только отдельные свойства
- проверка краски для фюзеляжа самолета
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

4. Модели и оригиналы

Моделирование, 11 класс
4
Модели и оригиналы
оригинал
задача
модели человека
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
модель
материальная точка
http://kpolyakov.spb.ru

5. Модели и моделирование

Моделирование, 11 класс
5
Модели и моделирование
Модель – это объект, который обладает существенными
свойствами другого объекта, процесса или явления
(оригинала) и используется вместо него.
Моделирование – это создание и исследование моделей
с целью изучения оригиналов.
Задачи моделирования:
• исследование оригинала
• анализ («что будет, если …»)
• синтез («как сделать, чтобы …»)
• оптимизация («как сделать лучше всего …»)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

6. Виды моделей (по природе)

Моделирование, 11 класс
6
Виды моделей (по природе)
модели
материальные
информационные
знаковые
вербальные
графические
табличные
математические
логические
специальные
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Виды моделей (по фактору времени)

Моделирование, 11 класс
7
Виды моделей (по фактору времени)
• статические – описывают оригинал в заданный момент
времени
силы, действующие на тело в состоянии покоя
результаты осмотра врача
фотография
• динамические
модель движения тела
явления природы (молния, землетрясение, цунами)
история болезни
дискретные модели описывают
видеозапись события
поведение только в отдельные
…
моменты времени
непрерывные модели – в любой
момент времени
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Виды моделей (по характеру связей)

Моделирование, 11 класс
8
Виды моделей (по характеру связей)
• детерминированные – при одинаковых исходных
данных всегда получается тот же результат
расчёт по формулам
движение корабля на спокойной воде
…
• вероятностные – учитывают случайность событий
броуновское движение частиц
полета самолёта с учетом ветра
движения корабля на волнении
поведение человека
…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Виды динамических моделей

Моделирование, 11 класс
9
Виды динамических моделей
• непрерывные – описывают оригинал в любой момент
времени на заданном интервале
y
y = 2t + 5
t
• дискретные – описывают оригинал только в отдельные
моменты времени (через 1 сек, час, год, …)
yi = 2ti + 5
y
y1 y2 y3
yi = 5yi–1 + 5
y4
y0
t
t0 t1 t2 t3 t4
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Имитационные модели

Моделирование, 11 класс
10
Имитационные модели
• нельзя заранее вычислить или предсказать поведение
системы, но можно имитировать её реакцию на внешние
воздействия
• максимальный учет всех факторов
• только численные результаты
!
Задача – найти лучшее решение методом
проб и ошибок (многократные эксперименты)!
Примеры:
• испытания лекарств на мышах, обезьянах, …
• математическое моделирование биологических систем
• модели систем массового обслуживания
• модели процесса обучения
• кросс-программирование
•…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

11. Игровые модели

Моделирование, 11 класс
11
Игровые модели
Игровые модели учитывают действия противников.
• экономические ситуации
• военные действия
• спортивные игры
• тренинги персонала
!
Задача – найти лучший вариант действий в
самом худшем случае!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

12. Адекватность

Моделирование, 11 класс
12
Адекватность
Адекватность – это совпадение существенных свойств
модели и оригинала в данной задаче.
• результаты моделирования согласуются с выводами
теории (законы сохранения и т.п.)
• … подтверждаются экспериментом ( 10%)
!
Адекватность модели можно доказать только
экспериментом!
Модель всегда отличается от оригинала
!
Любая модель адекватна только при
определенных условиях!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Моделирование

13
Моделирование
§ 7. Системный подход в
моделировании
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

14. Модели-системы и модели-«не-системы»

Моделирование, 11 класс
14
Модели-системы и модели-«не-системы»
Модель-«не-система»:
1-я линия:
Пр. Ветеранов
Ленинский пр.
Автово
Кировский завод
Нарвская
…
Модель-система:
2-я линия:
Купчино
Звездная
Московская
Парк Победы
Электросила
…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

15. Таблицы

Моделирование, 11 класс
15
Таблицы
Свойства объектов:
Фамилия
Иванов
Кузьмин
Сидоров
Имя
Кузьма
Сидор
Иван
Год рождения
1955
1978
1990
Место отдыха
о. Валаам
о. Ольхон
о. Кипр
Связи между объектами:
Москва
Санкт-Петербург
Пермь
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Вася
Петя
Коля
Маша
Даша
Глаша
http://kpolyakov.spb.ru

16. Задача

Моделирование, 11 класс
16
Задача
Из
Березовое
Березовое
Лесное
Полевое
Осиновое
Лесное
Осиновое
Березовое
Лесное
Полевое
В
Лесное
Осиновое
Березовое
Лесное
Полевое
Осиновое
Лесное
Полевое
Полевое
Осиновое
Отправл.
07:30
11:50
12:50
13:20
14:00
14:20
14:40
16:00
16:10
17:40
Прибытие
10:00
14:10
15:20
14:40
17:15
15:30
15:50
17:50
17:30
19:55
Березовое: 8:00
Полевое
17:50 П
16:00
Б 07:30
11:50
10:00 Л
14:00
14:10 О
14:40
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
17:15 П
15:50 Л 16:10
17:30 П
http://kpolyakov.spb.ru

17. Задачи

Моделирование, 11 класс
17
Задачи
Луковое (00:00) Васильево
Из
В
Васильево
Панино
Панино
Луковое
Луковое
Панино
Санино
Васильево
Васильево
Луковое
Панино
Васильево
Луковое
Васильево
Луковое
Санино
Васильево
Санино
Санино
Луковое
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
05:10
09:15
10:35
11:05
11:35
12:05
12:30
14:20
16:25
18:30
Прибытие
07:20
11:20
12:15
13:10
15:20
14:25
16:10
16:00
17:15
20:40
http://kpolyakov.spb.ru

18. Задачи

Моделирование, 11 класс
18
Задачи
Сычёво (10:00) Рогатое
Из
В
Сычево
Грибное
Мухино
Сычево
Рогатое
Сычево
Рогатое
Мухино
Сычево
Рогатое
Грибное
Рогатое
Сычево
Мухино
Грибное
Сычево
Мухино
Рогатое
Рогатое
Грибное
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
09:00
09:15
10:10
10:25
10:30
10:40
10:35
10:55
11:50
12:00
Прибытие
10:15
10:25
12:25
11:25
13:00
11:45
11:30
11:25
12:50
13:20
http://kpolyakov.spb.ru

19. Задачи

Моделирование, 11 класс
19
Задачи
Кунцево (00:00) Ручьи
Из
В
Марьино
Кунцево
Кунцево
Борисово
Ручьи
Марьино
Ручьи
Кунцево
Ручьи
Борисово
Кунцево
Ручьи
Кунцево
Марьино
Борисово
Кунцево
Марьино
Ручьи
Борисово
Ручьи
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
09:00
09:55
10:45
10:50
10:55
11:00
11:05
11:20
12:10
12:25
Прибытие
09:50
11:00
11:55
13:10
12:00
13:20
12:00
12:25
13:15
13:25
http://kpolyakov.spb.ru

20. Задачи

Моделирование, 11 класс
20
Задачи
Моховое (00:00) Лесное
Из
В
Моховое
Лесное
Озерное
Моховое
Лесное
Грибное
Лесное
Озерное
Моховое
Грибное
Моховое
Озерное
Лесное
Моховое
Грибное
Лесное
Озерное
Лесное
Грибное
Моховое
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
07:40
07:50
08:00
09:15
09:25
09:30
09:45
10:15
11:15
11:50
Прибытие
08:50
09:05
09:10
10:25
10:30
10:30
10:45
11:25
12:25
12:55
http://kpolyakov.spb.ru

21. Диаграммы

Моделирование, 11 класс
21
Диаграммы
Диаграмма – графическая модель, построенная по
числовым данным.
овцы
Аськин
Баськин
Сенькин
1
4
2
кролики куры
2
2
3
5
5
4
5
овцы
кролики
куры
4
3
ряды
2
1
0
Аськин
Баськин Сенькин
категории
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
? Что сравниваем?
http://kpolyakov.spb.ru

22. Диаграммы

Моделирование, 11 класс
22
Диаграммы
овцы
Аськин
Баськин
Сенькин
кролики куры
1
4
2
2
2
3
5
5
4
? Какую диаграмму можно
еще построить?
5
Аськин
Баськин
Сенькин
4
3
ряды
2
1
0
овцы
кролики
категории
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
куры
? Что сравниваем?
http://kpolyakov.spb.ru

23. Круговые диаграммы

Моделирование, 11 класс
23
Круговые диаграммы
Аськин
Баськин
Сенькин
всего
овцы
1
4
2
7
кролики
2
2
3
7
куры
5
5
4
14
25%
овцы
кролики
куры
50%
25%
! Только итоги, исходные данные
восстановить нельзя!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

24. Задача

Моделирование, 11 класс
24
Задача
а)
30
25
лоси
белки
зайцы
20
15
лоси
белки
10
5
0
зайцы
б)
I участок II участок III участок
зайцы
лоси
лоси
белки
зайцы
всего
I участок
15
30
10
II участок
30
20
15
III участок
15
10
15
всего
60
60
40
160
белки
в)
зайцы
лоси
белки
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

25. Задачи

Моделирование, 11 класс
25
Задачи
30
25
ноутбуки
MP3-плейеры
телевизоры
20
15
10
5
0
а) телевизоры
январь
февраль
б) телевизоры
ноутбуки
MP3-плейеры
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
MP3-плейеры
март
в) телевизоры
ноутбуки
ноутбуки
MP3-плейеры
http://kpolyakov.spb.ru

26. Задача

Моделирование, 11 класс
26
Задача
1)
10 + 40 + 30 + 20 = 100
2)
25
40
менеджеры
30
50
рабочие
20
охрана
10
0
«Лада» «Форд» «Тойота» «Ауди»
25
а) все «Форды» могут принадлежать менеджерам
б) все охранники могут ездить на «Ауди»
в) все «Тойоты» могут принадлежать рабочим
г) все рабочие могут ездить на «Фордах»
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

27. Задачи

Моделирование, 11 класс
27
Задачи
1)
40
30
2)
Москва
Мурманск
20
10
СанктПетербург
0 III разряд II разряд I разряд
Какие утверждения следуют из анализа диаграмм:
а) все спортсмены, имеющие II разряд, могут быть
москвичами
б) все спортсмены из Мурманска могут иметь II разряд
в) все спортсмены из Санкт-Петербурга могут иметь
I разряд;
г) все спортсмены III разряда могут быть из Москвы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

28. Задачи

Моделирование, 11 класс
28
Задачи
1)
2)
40
УАЗ
30
Лада
20
Ока
10
0
красный синий зеленый
Какие утверждения следуют из анализа диаграмм:
а) все автомобили «УАЗ» – зеленые
б) среди автомобилей «Ока» нет красных
в) все автомобили «Ока» – синие
г) среди автомобилей «Лада» есть синие
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

29. Иерархические модели

Моделирование, 11 класс
29
Иерархические модели
директор
Уровень 1
главный инженер
Уровень 2
Уровень 3
Петров
Иванов
Фомин
главный бухгалтер
Алексеева
Сидорова
Хищные
Псообразные
Псовые
Енотовые
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Медвежьи
Кошкообразные
Кошачьи
Гиеновые
Мангустовые
http://kpolyakov.spb.ru

30. Иерархические модели

Моделирование, 11 класс
30
Иерархические модели
Документы
Тексты
Доходы.doc
Расходы.odt
Фотографии
Отдых.txt
Папа.jpg
Мама.gif
*
(a+3)*5-2*b
+
a
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
*
5
2
b
3
http://kpolyakov.spb.ru

31. Сетевые модели

Моделирование, 11 класс
31
Сетевые модели
Сетевое планирование
1
2
начало
2
А
4
Б
2
2
Г
1
Д
конец
6
В
Семантические сети
щука
птица
это
это
рыба
это
животное
это
гусь
умеет
плавать
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
крылья
умеет
это
млекопитающее
это
живет в
вода
имеет
живет в
кит
летать
дышит
лёгкие
умеет
http://kpolyakov.spb.ru

32. Задачи

Моделирование, 11 класс
32
Задачи
Построить матрицы смежности и весовые матрицы.
5
4
A
D
A
E
1
1
3
1
3
C
B
D
C
B
2
3
1
2
E
3
5
A
E
2
4
3
B
C
D
1
2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
B
A
5
1
C
2
D
4
E
http://kpolyakov.spb.ru

33. Задачи

Моделирование, 11 класс
33
Задачи
А
3
2
начало
1
Б
В
3
5
2
Г
Д
4
3
Е
3
конец
6
Задача: определить срок изготовления прибора.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

34. Игровые стратегии

Моделирование, 11 класс
34
Игровые стратегии
? Какая задача?
Задача: найти стратегию (алгоритм игры), который
позволит получить лучший результат, если соперники
играют безошибочно.
Игры с полной информацией: можно определить, кто
должен выиграть, по начальной позиции.
Позиции:
• проигрышные – все возможные ходы ведут в
выигрышные позиции
• выигрышные – хотя бы один ход ведёт в
проигрышную позицию
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

35. Задача

Моделирование, 11 класс
35
Задача
В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и «*2»
(удвоить). Выигрыш: получить 14 камней.
выигрыш за 1 ход
S
1
2
3
4
5
6
x3
В3
В2
x2
В2
x1
7
В1
8
В1
9
В1
10
В1
11
В1
12
В1
13
В1
Дерево игры:
+1
игрок 1:
+1
игрок 2:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
6
5
4
*2
*2
+1
10
9
8
*2
16
http://kpolyakov.spb.ru

36. Неполное дерево игры

Моделирование, 11 класс
36
Неполное дерево игры
Задача: доказать выигрыш какого-то игрока.
Для победителя – только 1 верный ход, для
проигравшего – все возможные ответы.
S
1
x3
?
2
B3
3
B2
4
x2
5
B2
6
x1
Какая стратегия
у игрока 2?
7
В1
8
В1
9
В1
10
В1
12
В1
13
В1
игрок 1:
4
+1
5
*2
8
+1
игрок 2:
переводить игру в
проигрышную (для
игрок 1:
соперника) позицию
игрок 2:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
11
В1
+1
7
*2
6
16
*2
12
*2
*2
14
24
http://kpolyakov.spb.ru

37. Задачи

Моделирование, 11 класс
37
Задачи
1. В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2) и
«*2» (удвоить). Выигрыш: получить 25 камней.
Построить дерево игры для S = 7.
2. В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и
«*3» (утроить). Выигрыш: получить 55 камней.
Построить дерево игры для S = 16.
3. В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2),
«+3» (добавить 3) и «*2» (удвоить). Выигрыш:
получить 30 камней.
Построить дерево игры для S = 9.
4. Игра Баше. В начале игры S (S 15) камней. Ходы:
«-1» (взять 2), «-2» (взять 2) и «-3» (взять 3).
Проигрыш: взять последний камень.
Построить дерево игры для S = 12.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru