Похожие презентации:
Векторы в пространстве. Понятие вектора в пространстве
1. Содержание
1.2.
3.
4.
5.
6.
Понятие вектора в пространстве.
1.
2.
Понятие вектора
Равенство векторов
1.
2.
3.
Сложение и вычитание векторов
Сумма нескольких векторов
Умножение вектора на число
1.
2.
Компланарные векторы
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
1.
2.
3.
4.
Прямоугольная система координат в пространстве
Координаты вектора
Связь между координатами векторов и координатами точек
Простейшие задачи в координатах
1.
2.
Скалярное произведение векторов
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
Компланарные векторы
Координаты точки и координаты вектора.
Скалярное произведение векторов
Список использованной литературы
2. Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какой из егоконцов считается началом, а какой –
концом, называется вектором
B
D
A
C
3. Понятие вектора
Любая точка пространства такжеможет рассматриваться как вектор.
Такой вектор называют нулевым.
B
D
A
T
C
4. Понятие вектора
Длиной ненулевого вектора ABназывается длина отрезка AB.
Длина вектора AB обозначается так:
|AB| или |a|
5. Понятие вектора
Два ненулевых вектора называютсяколлинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных
прямых.
Если векторы коллинеарные и при этом их
лучи совпадают, то такие векторы
называют сонаправлеными, а если не
совпадают – противоположно
направленными.
6. Понятие вектора
Примеры:e
a
f
b
a
c
b
c
e
f
d
d
-Ни сонаправленные, ни противоположно направленные,
- так как не коллинеарны
7. Равенство векторов
Векторы называются равными, еслиони сонаправлены и их длины
равны.
N
E
K
M
C
A
D
B
AD
EK
AE
DK
EN
DB
8. Равенство векторов
Если точка А – начало вектора а, тоговорят, что вектор а отложен от
точки А.
От любой точки можно отложить
вектор, равный данному и
притом только один.
a
N
M
9. Сложение и вычитание векторов
Правило треугольника:B
a
b
А
c
C
AC = a + b
10. Сложение и вычитание векторов
aa
b
b
a + b
a + b
11. Сложение и вычитание векторов
Для любых векторов a, b и cсправедливы равенства:
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
12. Сложение и вычитание векторов
Разностью векторов a и b называетсятакой вектор, сумма которого с
вектором b равна вектору a.
Иными словами: a-b=a+(-b)
b
a
a - b
13. Сумма нескольких векторов
Сумма нескольких векторов независит от того, в каком порядке
они складываются.
C
ОС=a+b+c
c
А
О
b
B
a
14. Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а начисло k называется такой вектор b, длина
которого равна |k| * |a|, причем векторы
a и b сонаправлены при k ≥ 0 и
противоположно направлены при k < 0.
Произведением нулевого вектора на любое
число считается нулевой вектор
15. Умножение вектора на число
Для любых векторов a, b и любыхчисел k, l справедливы равенства:
(kl)a=k(la)
k(a+b)=ka+kb
(k+l)a=ka+la
16. Компланарные векторы
Векторы называются компланарными,если при откладывании их от одной
и той же они будут лежать в одной
плоскости.
B1
D
C
c
E
B
A
O
a
b
BB1, OD и OE компланарны,
так как если отложить от точки О
Вектор, равный BB1, то получится
Вектор ОС, а векторы OC, OD и ОЕ
Лежат в одной плоскости ОСЕ
17. Компланарные векторы
Если вектор с можно разложить повекторам a и b, т.е. представить в
виде:
c=xa+yb
Где x и у – некоторые числа, то
векторы a, b и с компланарны.
B1
a
B
O
b
C
OB1=yOB
A
A1
OA1=xOA
OC = xOA+yOB
18. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Теорема:Любой вектор можно разложить
по трем некомпланарным
векторам, причем
коэффициенты разложения
определяются единственным
образом.
19. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Это равенство выполняется толькотогда, когда x-x1=0, y-y1=0, z-z1=0.
Отсюда следует:
5)
x x y y
1a
1b
c
z z
z z
1
1
Из этой формулы следует, что векторы a, b и с компланарны. Но
это противоречит условию теоремы. Значит x=x1, y=y1 и z=z1.
Теорема доказана.
20. Координаты точки и координаты вектора
Если через точку пространства проведенытри попарно перпендикулярные прямые,
На каждой из них выбрано направление и
выбрана единица измерения, то говорят,
что задана
прямоугольная система координат
O
21. Координаты точки и координаты вектора
Прямые с выбранными на нихнаправлениями называют осями
координат.
А их общая точка – началом
координат
z
O
x
y
22. Координаты точки и координаты вектора
Точка О разделяет каждую из осейкоординат на два луча. Луч,
направление которого совпадает с
направлением оси, называется
положительной полуосью, а
другой луч – отрицательной
полуосью.
z
O
Отрицательная Положительная
y
x
23. Координаты точки и координаты вектора
zA
B
D
o
F
C
x
E
y
A (9;5;10)
B (4;-3;6)
C (9;0;0)
D (4;0;5)
E (0;3;0)
F (0;0;-3)
24. Координаты точки и координаты вектора
z1) Дано: OE {0;0;-3}
OF {0;3;0}
Найти: OE + OF
Решение:
OE + OF = {0;0;-3} + {0;3;0} = {0;3;-3}
2) Дано: OС {9;0;0}
OD {4;0;5}
Найти: OC + OD
A
B
Решение:
OC + OD = {9;0;0} + {4;0;5} = {13;0;5}
D
o
F
C
x
E
3) Дано: OE {0;0;-3}
OD {4;0;5}
y
Найти: OE + OD
Решение:
OE + OD = {0;0;-3} + {4;0;5} = {4;3;5}
25. Координаты точки и координаты вектора
Любой вектор можно разложить покоординатным векторам, т.е.
представить в виде
a=xi+yj+zk
Причем коэффициенты разложения x,
y, z определяются единственным
образом
z
O
i
x
k
j
y
26. Координаты точки и координаты вектора
10 Каждая координата суммы двух илиболее векторов равна сумме
соответствующий координат этих
векторов.
20 Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов.
30 Каждая координата произведения
вектора на число равна произведению
соответствующей координаты вектора на
это число.
27. Координаты точки и координаты вектора
Дано: a{1;-2;0}, b{0;3;-6}, c{-2;3;1}1
Найти: p 2a 3 b c
Решение:
1
по правилу 30: 2a{2;-4;0}, b{0;-1;2}
3
По правилу 10 можно вычислить координаты
вектора p.
p{2+0-2;-4-1+3;0+2+1} или p{0;-2;3}
28. Координаты точки и координаты вектора
Вектор, конец которого совпадает сданной точкой, а начало – с
началом координат, называется
радиус-вектором данной точки.
Координаты любой точки равны
соответствующим координатам
её радиус-вектора.
29. Координаты точки и координаты вектора
Каждая координата вектора равнаразности соответствующих
координат его конца и начала.
30. Координаты точки и координаты вектора
Каждая координата серединыотрезка равна полусумме
соответствующих координат его
концов
31. Координаты точки и координаты вектора
Длина вектора поего координатам
а{x;y;z}:
2
z
2
2
a x y z
A3
A
zk
A1
x
O
xi
a
A2
yj
y
32. Координаты точки и координаты вектора
Расстояние между двумя точками.Дано: М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)
Решение:
d M1M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
Таким образом:
d ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2
2
2
33. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двухвекторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
ab a * b * cos(a b )
34. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведениененулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны