Показательные уравнения и неравенства

1. Показательные уравнения

Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными уравнениями
⟺
af(x) = аh(х)
f(x) = h(х)
Методы решения показательных уравнений:
1. Функционально-графический метод.
2. Метод уравнивания показателей.
3. Метод введения новой переменной.

2. Показательные уравнения. Примеры

Пример 1
2x 4
2
64
22x 4 26
2x 4 6
x 5
Ответ : 5
Пример 2
1
3
2 x 3,5
Пример 3
5
1
3
2 x 3,5
1
1
3
3
2x 3,5 0,5
x 2
Ответ : 2
x 2 3 x
5 3 x 8
x 2 3 x 3x 8
0,5
x 2 6x 8 0
x1 2,
x 4
2
Ответ : 2; 4

3. Показательные уравнения. Примеры

Пример 4
0,2
x 0,5
5
1
5
5
4x 2х 1 24 0
5 0,04 x 2
x 0,5
0,5 x 0,5
Пример 5
:5
0,5
1
5
25
5 5
5 x 51 2x 4
2 x 2
x 2
2
2
2 х
2 2х 24 0
х 2
2 2х 24 0
Пусть 2х t , где t 0 тогда
t 2 2t 24 0
5 x 55 2 x
t1 6,
t 4
2
x 5 2x
t1 6 не уд ет условию t 0
x 5
Вернемся к исходной переменной
Ответ : 5
2х 4
х 2
Ответ : 2

4. Показательные уравнения. Примеры

2
х
3
2
9х 2 9
81
27 х
2
х
2
9
9
9
9
2
81
3
27
27 х
9
2 9х 9
9
27 х 2 9х 9 0
9 27
Пример 6
Вернемся к исходной переменной
3х 3
х 1
Пусть 3х t , где t 0, тогда
t 3 2t 2 9 0
t 3 3t 2 t 2 9 0
t 2 t 3 t 3 t 3 0
t 3 t 2 t 3 0
t 3
2
t t 3 0 нет корней
Ответ : 1.

5. Показательные уравнения. Примеры

Пример 7 (однородное уравнение)
52x 1 13 15 х 54 9 х 1 0
5 5
2x
5 52x
9х
13 15 54
0
9
13 15 х 6 9 х 0
х
Разделим на 9 х , тогда
5 5
9х
2x
5
5
3
2х
13 15
6 9
0
х
х
9
9
х
х
х
5
13 6 0
3
5t 2 13t 6 0
3
t1 5 ,
t 2 2
Вернемся к исходной переменной
х
х
3
5
5
3
х 1
или
5
2
3
х log 5 2
3
х
5
Пусть t , где t 0, тогда
3
Ответ : 1; log 5 2.
3

6. Показательные неравенства

Неравенства вида af(x) > аg(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными неравенствами
af(x) > аg(х)
а>1
f(x) > g(х)
0<а<1
f(x) < g(х)

7. Показательные неравенства. Примеры

Пример 1
22 x 4 64
22 x 4 26
т.к . функция у 2t монотонно
возрастает на R , то
2x 4 6
x 5
Ответ : 5;
Пример 2
1
3
2 x 3 ,5
1
3
2 x 3 ,5
1
3
1
3
0 ,5
t
1
т.к . функция у
3
монотонно убывает на R , то
2x 3 ,5 0 ,5
x 2
Ответ : 2;

8. Показательные неравенства. Примеры

Пример 3
0,5
x 2 3 x
0,53 x 8
т.к . функция у 0,5 t
монотонно убывает на R , то
x 2 3 x 3x 8
x 2 6x 8 0
н .ф. : x 2 6x 8 0
x1 2,
x 4
2
х ; 2 4;
Ответ : ; 2 4;
+
2
−
4
+
х

9. Показательные неравенства. Примеры

Пример 4
8 x 18 х 2 27 x
23 x 2х 32x 2 33 x
: 33 х , т.к . 33 х 0
23 x 2х 32x 2 33 x
3х
3х
3
3
33 х
2
3
3x
x
2
2
3
x
2
Пусть t , где t 0
3
t3 t 2 0
t 3 t 2 t 3 t 1 1 t 3 1 t 1 t 1 t 2 t 2
т.к . t 2 t 2 0 для любых t , то t 1 0
t 1

10. Показательные неравенства. Примеры

Пример 4
Вернемся к исходной переменной :
x
2
1
3
x
0
2
2
,
3
3
x
т.к . а
2
2
1, то ф ция у убывает на R
3
3
x 0
Ответ : ; 0 .