Усечённая треугольная пирамида

1. Проект по теме «Усечённая треугольная пирамида»

Работа Савельева Алексея, ученика 9А класса

2. Определение тела, его элементы и основные формулы

Треугольная усечённая пирамида – часть треугольной пирамиды,
оставшаяся между ее основанием и параллельной этому основанию
секущей плоскостью.
Элементами треугольной усеченной пирамиды будем
называть длины сторон двух ее оснований и боковых ребер, высоту,
площади оснований, боковой и полной поверхностей, объем, плоские
углы на гранях и двугранные углы между смежными гранями.
Формулы:
1) Площадь полной поверхности - Sполн = Sбок + S1 + S2
2) Объём - V = 1/3( S1 + S2 + √(S1 · S2 ))H

3. Задача на объём

Условие:
В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной
10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52.
Определите объем усеченной пирамиды, если
периметр другого основания равен 72.

4. Задача на объём

Решение:
Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА1В1С1
Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле:
V = 1/3H · (S1 + S2 + √(S1 · S2)), где S1 – площадь одного из оснований, можно найти по
формуле Герона:
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)), т. к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.
Имеем: p1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.
Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае
треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Кроме того, коэффициент подобия можно
найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей
будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:
S1/S2 = (P1)2/(P2)2 = 1082/722 = 9/4. Отсюда S2 = 4S1/9 = 4 · 270/9 = 120.
Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

5. Задача на площадь поверхности

Условие:
Стороны оснований правильной треугольной усеченной
пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

6. Задача на площадь поверхности

Решение:
Достроим эту усеченную пирамиду до правильной пирамиды РАВС и проведем высоту РН1Н,
где H1 ∈ A1B1C1, H ∈ ABC
Так как
то А1С1 — средняя линия ΔРАС. Поэтому AA1 = А1Р; CC1 = C1P. Аналогично ВВ1 = В1Р. Но
тогда PH1= HH1 = 1 дм. Проведём апофему РМ1М грани PCB. РМ1 = М1М. Найдем РМ1:
(так как H1 — центр ΔА1В1С1).

7. Использование усечённой пирамиды в архитектуре

Пирамида Кукулькана в Мексике
*Я не смог найти объекты с треугольной усечённой пирамидой

8. Использование усечённой пирамиды в быту

Антикварная чернильница
*Я не смог найти объекты с треугольной усечённой пирамидой