ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через точку на ободе, перпендикулярно ему
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ
ПРИМЕР
Момент импульса
Момент импульса относительно неподвижной оси Z
Момент импульса системы материальных точек
Момент импульса твердого тела относительно оси вращения
Момент силы
Момент силы относительно неподвижной оси Z
Закон сохранения момента импульса
Основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью
пример
Для 1 грузика 2 закон Ньютона
Для 2 грузика 2 закон Ньютона
Для блока основное уравнение динамики вращательного движения
Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
581.07K
Категория: ФизикаФизика

Тетеорема Штейнера

1. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

• Позволяет найти момент инерции
относительно оси, которая параллельна
оси, проходящей через центр масс
А
С
a
JC
JA
J A J C Ma
2

2. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через точку на ободе, перпендикулярно ему

J A J C Ma
JC
R
С
JA
А
J C MR2
2
a R
J A MR MR 2MR
2
2
2

3. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему

JC
JA
С
L
2
ML
JA
3
А
J A J C Ma
2
2
L
a
2
12
2
2
2
ML
ML ML
JA
3
4
12
J C ML

4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

• Разобьем вращающееся тело на маленькие
объемы mi, находящиеся на расстоянии ri от оси
вращения
r1
r2
r3
m1
m2
m3

5.

• Центры окружностей лежат на оси вращения
(по определению)
• Угловая скорость вращения этих объемов
одинакова, а линейная - различна
V1 V2
r1
r2

6.

• Кинетическая энергия вращающегося тела
2
1 1
2
2 2
mV
mV
Tвр
2
2
Vi ri
mi ri 2 2
Tвр
2
2
i
2
i
miVi
i 2
J
mi ri
2
2
J – момент инерции тела
2
2
Tв р

7.

• В случае плоского движения твердого
тела кинетическая энергия складывается
из кинетической энергии поступательного
движения и кинетической энергии
вращательного движения
mV
J C
T
2
2
2
C
2
VC- скорость поступательного
движения центра масс
JC- Момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс

8. ПРИМЕР

• Найдем кинетическую энергию
катящегося сплошного цилиндра (m)
R
VC

9.

mV
J C
T
2
2
2
C
2
mR 2
JC
2
VC
R
2
C
mV
1 mR
T
2
2 2
2
C
2
C
mV
mV
2
4
2
2
VC
2
R
2
C
3mV
4

10. Момент импульса

• Моментом импульса
материальной точки
относительно точки
О называется
векторное
произведение
m
О
r
L [ r P]
r
P mV
α
V
L
L r P sin

11. Момент импульса относительно неподвижной оси Z

• - скалярная величина, равная проекции
на ось момента импульса,
определенного относительно
произвольной точки О , лежащей на оси
L
LZ
O
Z

12. Момент импульса системы материальных точек

• Моментом импульса
системы
материальных точек
называется
векторная сумма
моментов импульса
всех материальных
точек системы
N
L [ri Pi ]
i 1

13.

• Рассмотрим движение материальной
точки по окружности
r
V
L
L r P sin
P
m
V
2
L r mV
Проекция момента импульса на ось Z
LZ mVr

14. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

LZi miVi ri
LZ miVi ri
i
LZ
Vi ri
m
r
i i J Z LZ
2
i

15. Момент силы

• Моментом силы
относительно
неподвижной точки,
называется
векторное
произведение
r
α
О
r
M
M [r F ]
F
M r F sin

16. Момент силы относительно неподвижной оси Z

• - скалярная величина, равная проекции
на ось момента силы, определенного
относительно произвольной точки О ,
лежащей на оси
M
MZ
O
Z

17. Закон сохранения момента импульса

L [ r P]
d
dr
dP
L [ P ] [r ]
dt
dt
dt
dL
[V P ] [ r F ]
dt
d
L
[V P] 0 [r F ] M
M
dt

18.

• В замкнутой системе
dL
0
dt
M 0
L const
• В замкнутой системе момент импульса
сохраняется

19.

20.

21.

22.

23.

• https://www.youtube.com/watch?v=SkE4N
WOnWhk кошки
• https://www.youtube.com/watch?v=UZlW1
a63KZs – момент импульса

24.

• http://www.youtube.com/watch?v=RtWbpy
jJqrU (ПОЧЕМУ КОШКИ ПАДАЮТ НА 4
ЛАПЫ)

25.

J1
J2
J1
J2
J1 1 ( J1 J 2 )
1 J1
J1 J 2

26. Основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью

LZ J Z
dLZ
d
JZ
J Z
dt
dt
M z J Z
dLZ
MZ
dt
-Основное уравнение динамики
вращательного движения

27. пример

• Через блок, имеющий форму диска,
перекинута нерастяжимая нить, на
которой подвешены два груза. Масса
диска m, массы грузов m1 > m2. С каким
ускорением будут двигаться грузы ?

28.

T2/
aT
2
m2
m2g
m
m1>m2
T1/
T1
m1
m1g
a

29. Для 1 грузика 2 закон Ньютона

m1a m1g T1
В проекциях
m1a m1g T1

30. Для 2 грузика 2 закон Ньютона

m2a m2 g T2
В проекциях
m2a m2 g T2
m2a m2 g T2

31. Для блока основное уравнение динамики вращательного движения

M J
mR
J
2
M
2
Момент инерции блока
Угловое ускорение
Результирующий момент
сил, действующих на блок

32.

T2
m
r
T1
M2
m2
M 2 T2 R
m1
M1
M1 T1 R

33.

• На блок действуют силы T1/ иT2/
M T1 R T2 R
• Нити не растягиваются, поэтому
T1 T1
T2 T2
M T1 T2 R

34.

• Линейное и угловое ускорение связаны
между собой
a
R
• Основное уравнение динамики
вращательного движения для блока
a mR 2 a
M T1 T2 R J J
R
2 R
T1 T2 R mRa
2

35.

ma
T1 T2
2
m1a m1g T1
m2a m2 g T2
T1 m1 g a
T2 m2 a g

36.

ma
m1 g a m2 a g
2
ma
m1g m1a m2a m2 g
2
ma
g m1 m2
a m1 m2
2

37.

g m1 m2
a
m
m1 m2
2

38. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

2
J Z
dA dTв р
Tв р
2
2
2
J
dTв р d ( Z ) J Z d ( ) 2 J d
2
2
2
dA J Z d

39.

d
M z JZ
dt
M z J Z
M z dt J Z d
dA J Z d M z dt
d
dt
d dt
dA M Z d
A M Z d
English     Русский Правила