Высшая математика
Литература
Тема 1: Элементы линейной алгебры
1.1. Основные понятия
Пример
Пример
1.2. Операции над матрицами
Пример
Пример
Пример
Пример
Свойства
Элементарные преобразования матриц
§2. Определители
Пример
Пример
Пример
§3. Обратная матрица
Алгоритм вычисления обратной матрицы
Пример
§4. Матричные уравнения
Пример
Ранг матрицы
0.99M
Категория: МатематикаМатематика

Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 1 семестр

1. Высшая математика

Лектор
доцент Шинкевич Елена Алексеевна
Кафедра ВМ: ауд. 430/2

2. Литература

• Дымков М.П., Конюх А.В., Майоровская
С.В., Петрович В.Д., Рабцевич В.А. Высшая
математика
(1
семестр):
Учебнометодическое пособие для подготовки к
компьютерному тестированию. Мн.: БГЭУ,
2011. ─ 27 с. На сайте кафедры:
http://bseu.by/hm/uchm/test/VM1.pdf
В
локальной
сети
БГЭУ:\\Arhive\UchebM\Естественнонаучные
\Высшая математика

3.

4.

5.

6. Тема 1: Элементы линейной алгебры

§1. Матрицы

7. 1.1. Основные понятия

Понятие матрицы и основанный на нем
раздел математики – матричная алгебра
имеют важное значение для экономистов,
так как значительная часть математических
моделей экономических объектов и
процессов записывается в достаточно
простой, а главное – компактной матричной
форме.

8.

ОПР.
Матрицей
размера
m×n
называется прямоугольная таблица чисел
(или других математических величин,
объектов) из m строк и n столбцов:
a1n
a11 a12
a
a
a
21
22
2n
Am n
amn
am 1 am 2
или
Am n aik m n .

9.

Числа,
образующие
матрицу,
называются элементами матрицы: a ik –
элемент, принадлежащий i-й строке и k-му
столбцу матрицы, числа i, k называются
индексами элемента.
Матрицы обозначаются A, B, C … .

10.

Например, матрица A
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
имеет размерность
Матрица B
3 2
имеет размерность
число строк
3 1
b11
B b21
b
31
число столбцов

11. Пример

2 4
A 1 8
9 3
Элемент
a12 4
a31 9
a22 8

12.

ОПР. Матрицы A и B одинаковых
размеров называются равными, если
равны их соответствующие элементы:
aik bik , i 1,2,
, m, k 1,2,
,n
ОПР. Матрица, у которой все элементы
равны нулю, называется нулевой. Она
обозначается Om n .

13. Пример

Дано:
Пример
2 4
2 4
C 2
A 1 8 , B 1 8 ,
1
9 3
9 3
0 0
O 0 0
0 0
4
,
8
0
0 ,
0
2 4
D 1 8 ,
9 3
Указать размерность данных матриц.
Имеются ли среди данных матриц равные?
A3 2 , B3 2 , CB2 2 , D
D3 2 , O3 3 ,

14.

ОПР. Квадратной матрицей n-го порядка
называется матрица размера
n×n.
Обозначается An .
В квадратной матрице элементы a11 , a22 , , ann
образуют главную диагональ.

15.

Матрица размерности m×1 называется
матрицей-столбцом.
Матрица размерности 1×n называется
матрицей-строкой.
Пример.
A 2 3 1 ,
3
B 2
1

16.

ОПР. Квадратная матрица называется
диагональной, если ее элементы на
главной диагонали не все равны нулю, а все
остальные элементы равны нулю.
ОПР. Диагональная матрица, у которой
все элементы главной диагонали равны
единице, называется единичной матрицей.
Обозначается E n .
Матрица размера 1×1, состоящая из
одного числа, отождествляется с этим
числом: A a11 a11 .
1 1

17. 1.2. Операции над матрицами

К линейным операциям над матрицами
относятся сложение и вычитание матриц,
умножение матрицы на число.
Складывать и вычитать можно только
матрицы одинаковых размеров.

18.

ОПР. Суммой (разностью) двух матриц
A aik m n и
B bik m n
называется такая матрица
C cik m n , что
cik aik bik cik aik bik ,
т. е. матрица, элементы которой равны
сумме
(разности)
соответствующих
элементов матриц A и B.

19. Пример

Найти A+B, A+C, B+C, если это возможно.
1
1 2 3
A
B 3
4 0 5
2
4
7 2
C
3 4
Существует сумма B+C:
1 2 7 2
B C
3 4 3 4
1 7 2 2 8 4
3 3 4 4 0 0

20.

ОПР. Произведением матрицы A aik m n на
число (или числа на матрицу A)
называется матрица B bik m n
, для
которой
bik aik , i 1, m, k 1, n
т. е. матрица, полученная из данной
умножением всех ее элементов на число .
Обозначение A A B

21. Пример

1 2 3
A
4 0 5
3 2 1
B
0 7 8
2 4 6
2A
8 0 10
5 6 5
2A B
8 7 18

22.

ОПР. Произведением
A B матриц
и Bn r
называется матрица C размера m r такая,
что
Am n
cij ai 1b1 j ai 2b2 j
ainbnj
т. е. элемент i-й строки и j-гo столбца
матрицы произведения cij равен сумме
произведений элементов i-й строки
матрицы A на соответствующие элементы
j-го столбца матрицы B.

23.

Операция умножения двух матриц
определяется только для случая, когда
число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй матрицы.
Если матрицы A и B квадратные одного
размера, то произведения A B и B A
всегда существуют, но не обязательно
равны.

24. Пример

Найти произведения матриц AB и BA (если
это возможно):
3
1 2 3 B 5
A
1
1 0 1
3
1 2 3
A2 3 B3 1
5
1 0 1
1
1 3 2 5 3 1 16
C 2 1
1 3 0 5 1 1 2

25. Пример

Найти произведения матриц AB и BA (если
это возможно):
1 2 3
A
1 0 1
A2 3 B3 3
3 4 5
B 6 0 2
7 1 8
3 4 5
1 2 3
6 0 2
1 0 1
7
1
8

26.

1 я строка матрицы А прикладывается
к первому столбцу матрицы В, соответствующие
элементы перемножаются, а произведения складываются
1 3 2 6 3 7 1 4 2 0 3 1 1 5 2 ( 2) 3 8
1 3 0 6 1 7 1 4 0 0 1 1 1 5 0 ( 2) 1 8
36 7 25
4 3 3
Произведение BA не существует, так как
число столбцов матрицы B не совпадает с
числом строк матрицы A .

27.

ОПР. Матрица, полученная из данной
заменой каждой ее строки столбцом с тем
же номером, называется матрицей,
транспонированной относительно данной.
Матрицу,
транспонированную
относительно матрицы A, обозначают AT .
Например, если
2 2 2
A 3 3 3
5 5 5
2 3 5
T
A 2 3 5 .
2 3 5

28. Свойства

A
T
A B
T
A B
T
A;
A B ;
T
T
T
B A .
T
T

29. Элементарные преобразования матриц

1. Перестановка местами двух рядов
матрицы;
2. Умножение всех элементов ряда матрицы
на число, отличное от нуля;
3. Прибавление ко всем элементам ряда
матрицы соответствующих элементов
параллельного ряда, умноженных на одно
и тоже число.
Под рядом матрицы понимается строка
или столбец матрицы.

30.

ОПР. Две матрицы A и B называются
эквивалентными, если одна из них
получается из другой с помощью
элементарных преобразований.
Записывают:
A
B.

31. §2. Определители

Любой квадратной матрице n-го
порядка A можно поставить в соответствие
число, которое называется определителем
матрицы A, и обозначается det A, A ,
A (дельта).
Определителем
1-го
порядка
квадратной матрицы A a11 называется
значение a11 : det A a .
11

32.

Определителем квадратной матрицы
2-го порядка
a11 a12
A
a21
a22
называется число, равное a11 a22
обозначаемое символом
a11
a12
a21
a22
a12 a21
a11a22 a12a21 .

33. Пример

Вычислить определитель
1.
2.
3
5
2 6
1 3
2
3
3 6 5 ( 2) 18 10 28.
1 3 3 2 9

34.

Определителем квадратной матрицы 3-го
порядка a a a
11
a21
a
31
12
a22
a32
13
a23
a33
называется число
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a 23
a33
a11
a22
a23
a32
a33
a12
a21
a23
a31
a33
a13
a21
a22
a31
a32
.

35. Пример

Вычислить определитель:
2 1 3
4 2 5
Решение.
6
3
7
2 1 3
2 5
4 5
4 2
4 2 5 2
( 1)
3
3 7
6 7
6 3
6 3 7
2 2 7 5 3 1 4 7 5 6 3 (4 3 2 6)
2 ( 1) 1 ( 2) 3 0 2 2 4.

36.

ОПР. Минором M ij элемента aij
квадратной матрицы A
n-го порядка
называется определитель (n-1)-го порядка,
полученный
из
исходного
путем
вычеркивания строки и столбца, на
пересечении
которых
находится
выбранный элемент.
ОПР. Алгебраическим дополнением Aij
элемента квадратной матрицы aij
называется произведение
i j
( 1)
Mij Aij .

37. Пример

2 1 5
В матрице A 1 4 2
0 2 1
2 5
минором элемента a22 является M 22
2,
0 1
минором элемента a33 является
M 33
2
1
1 4
8 1 9.
Алгебраическое дополнение элемента a22
2 5
2 2
A22 ( 1) M 22
2.
0 1

38. §3. Обратная матрица

Пусть A — квадратная матрица n-го
порядка.
ОПР. Квадратная матрица A называется
невырожденной, если определитель detA
не равен нулю: det A 0.
В противном случае ( det A 0 ) матрица A
называется вырожденной.

39.

ОПР. Матрицей, присоединенной к
матрице A aij , называется матрица
,
— алгебраическое дополнение
n n
A Aij
T
где Aij
элемента aij данной матрицы A.
1
Матрица A
называется обратной к
квадратной матрице A, если выполняется
1
1
условие A A A A E ,
где E — единичная матрица того же
порядка, что и матрица A.

40.

Матрица A 1 имеет те же размеры, что
и матрица A.
Теорема 1. Всякая невырожденная
матрица имеет обратную (и причем только
одну).

41. Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы.
Если det A 0 , то матрица A вырожденная
и обратной матрицы не существует.
Если det A 0 , то матрица невырожденная
и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу AT , транспонированную
к матрице А.

42.

3. Находим алгебраические дополнения
элементов транспонированной матрицы и
из них составляем присоединенную
T
матрицу A A
.
ij
4. Вычисляем обратную матрицу по
формуле:
1
1
A
det A
A.
5. Проверяем правильность вычисления
обратной матрицы
1
1
A A A A E.

43. Пример

Вычислить обратную матрицу для матрицы
4 5
A
2 7
Решение. Найдем определитель:
4 5
det A
28 10 18 0
2 7
Обратная матрица существует.

44.

Присоединенная матрица имеет вид:
5
7
A
2 4
Тогда обратная матрица:
1
1 7 5
A
A
det A
18 2 4
1
5
7
18
18
2
4
18
18

45.

Проверка:
1
A A
4 5 1
2 7 18
7 5
2 4
1 4 7 10 20 20
18 14 14
10 28
1 18 0 1 0
18 0 18 0 1

46. §4. Матричные уравнения

Матричные уравнения простейшего
вида
с
неизвестной
матрицей
X
записываются следующим образом
AX B,
XA B.
В этих уравнениях A, B, X ― матрицы
таких размеров, что все используемые
операции умножения возможны, и с обеих
сторон от знака равенства находятся
матрицы одинаковых размеров.

47.

Если в уравнениях
AX B, XA B
матрица A невырожденная, то их решения
записываются следующим образом
Если AX B, то X A 1 B,
Если
XA B
то
1
X BA .

48. Пример

• Решить матричное уравнение:
1 1
2 3
X
2 3
1 4
Решение. Запишем данное матричное
уравнение в виде AX B . Его решением
1
является матрица
(если
X A B
существует матрица A 1 ).
Найдем обратную матрицу.
1) Найдем определитель матрицы :

49.

det A
1
1
2
3
1 0
Значит, обратная матрица существует, и
исходное уравнение имеет единственное
решение.
1
1 3 1 3 1
A
A
.
det A
1 2 1 2 1
1
Запишем решение уравнения:
3 1 2 3 5 5
X A B
.
2 1 1 4 3 2
1

50. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера m×n.
Выделим в ней k строк и k столбцов,
k min{m; n}
Из элементов, стоящих на пересечении
выделенных строк и столбцов, составим
определитель k-го порядка. Все такие
определители называются минорами этой
матрицы и обозначаются M k .

51.

ОПР. Рангом матрицы A называется
наивысший порядок отличного от нуля
минора матрицы.
Обозначают: rank ( A).
Очевидно, что 0 rank ( A) min{m; n}.
English     Русский Правила