Линейная алгебра

1.

Линейная
алгебра

2. Структура курса

-линейная алгебра;
-векторная алгебра;
-аналитическая геометрия.

3. Литература

Математика. Ч. 1, 1 семестр: УМК /сост.:
А.Б.Гончарова и др.– СПб.: CЗТУ, 2009.
Лобунина, И.И., Сентяков В.А. Математика, ч.1.
Линейная алгебра: УМК, учеб. пособие/ - СПб.:
СЗТУ, 2008
Романова, Ю.С., Математика, ч.1.
Аналитическая геометрия: УМК, учеб. пособие /
- СПб.: СЗТУ, 2008

4. Матрицы

ЛЕКЦИЯ 1
Матрицы

5.

Матрица размером m x n: прямоугольная
таблица чисел, состоящая из m строк и n
столбцов:
A
a11
a12
...
a21
a22
... a2 n
...
...
...
am1
aik
i
k
a1n
...
am 2 ... amn
- элемент матрицы
- номер строки
- номер столбца

6.

Квадратная матрица : число строк равно
числу столбцов
Порядок квадратной матрицы: количество
ее строк (столбцов)
A
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2
... ann
...
Главная диагональ квадратной матрицы n-го
порядка: совокупность элементов с
одинаковыми индексами
Побочная диагональ: совокупность
элементов, расположенных на второй диагонали

7.

Диагональная матрица:
квадратная матрица, все
элементы которой,
расположенные вне
главной диагонали,
равны нулю
Единичная матрица:
диагональная матрица
n-го порядка, все
диагональные элементы
которой равны единице
a11
0
0
D 0
a22
0
0
0
a33
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1

8.

Операции над матрицами
Равные матрицы A и B: имеют одинаковый
размер и их соответствующие элементы равны :
aik bik (i 1,2,..., m;
k 1,2,..., n).
Произведение матрицы A на число
B A A .
:
Сумма матриц A и B, имеющих одинаковый
размер: матрица C, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц A и B:
cik aik bik

9.

Разность матриц A и B, имеющих одинаковый
размер: матрица D, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц A и (-1)хB:
dik aik ( 1) bik
Транспонированная матрица: столбцы
матрицы А являются строками матрицы AT
A
3 2 4
1
0
2
3
1
AТ 2 0
4
2

10.

Пример.
3 2 4
1
0
2
3
1 3 2
0 1 5
3 3 1 2 3 ( 3) 4 3 2
1 3 0
0 3 ( 1)
6
7
10
1 3 17
2 3 5

11.

Произведение матрицы A (m x p) на матрицу
B(p x n) : матрица C (m x n), каждый элемент
которой равен
cik ai1b1k ai 2b2 k aimbmk
Свойства операции умножения матриц
1. Перемножение матриц некоммутативно:
A B -произведение матрицы A на матрицу
B справа
B A -произведение матрицы A на матрицу
B слева
Перестановочные матрицы:
2. AEn En A A
A B B A

12.

Пример. Вычислить произведение матрицы А
на матрицу В справа:
A
2
1
3 0
3 1 1
,
2
B 0
3
2
1

13.

A B
2
3 0
3 1 1
1
0
2
2
3
1
( 2) ( 1) 3 0 0 2
( 2) 2 3 ( 3) 0 1
3 ( 1) ( 1) 0 1 2
3 2 ( 1) ( 3) 1 1
2
13
1
10

14.

Пример. Вычислить произведение матрицы А
на матрицу В слева.
1
2
0
3
2
1
B A
2
3 0
3 1 1
( 1) ( 2) 2 3
( 1) 3 2 ( 1)
( 1) 0 2 1
0 ( 2) ( 3) 3
0 3 ( 3) ( 1)
0 0 ( 3) 1
2 ( 2) 1 3
2 3 1 ( 1)
8
5
2
9
3
3
1
5
1
2 0 1 1

15.

Пример. Доказать, что матрицы А и В
перестановочные
A
A B
3 5
1 2
3 5
B
1 2
1
5
1
2
1
5
1
2
3 5 15 10
1 2
5 4
2 5
1 1
2 5
5 3 5
3 5 5 10
B A
1 1
1 2 1 2
3 2 5 4
1

16.

Определители квадратных матриц
Определитель матрицы второго порядка:
A
a11
a12
a21
a22
число, равное разности произведений элементов
главной и побочной диагоналей матрицы
a11
a12
a21
a22
a11a22 a12 a21

17.

Пример. Вычислить определитель матрицы
A
8 2
3
1
8 2
3
1
8 1 3 ( 2) 8 6 14

18.

a11
a12
a13
A a21 a22
a23
a31
a33
a32
Минор M ik элемента aik матрицы третьего
порядка: определитель матрицы второго
порядка, получающейся из данной матрицы
вычеркиванием i-ой строки и k-гo столбца, на
пересечении которых находится этот элемент.
M 12
a21
a23
a31
a33

19.

Алгебраическое дополнение элемента aik
матрицы третьего порядка: число, равное
i k
(
1
)
произведению минора этого элемента на
.
Aik ( 1)
i k
2 1
Пример.
A
A21 ( 1)
1 0
0 1
1;
0
1 3 1
2
2 1
M ik
0
1
A33 ( 1)
3 3 2
1
1 3
5.

20.

Определитель матрицы третьего порядка:
число, равное сумме произведений элементов
любой строки (столбца) матрицы на их
алгебраические дополнения
a11
a12
a13
a21
a22
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31
a32
a33
- разложение определителя по строке

21.

Пример. Вычислить определитель матрицы
разложением по первой строке
2 1
1
A 1
2 3
1
1 1
2 1
1
1
2
3 2 A11 ( 1) A12 1A 13 2( 1)
1
1
1
1 1
1 2
( 1)( 1)
2 3
1 1
1 3
1 3 1 2
1( 1)
1 1
1 1
2 1 1 2 1( 1) 3.

22.

Пример. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1
A 1
2 3
1
1 1
2 1
1
1
2
3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1
1
1
1 2
( 1)( 1)
1 3
1 1
2( 1)
2 2
2
1
1
1 1
1( 1)
3 2
1 2 2 ( 3) ( 1) ( 7) 3.
2
1
1 3

23.

Правило треугольника
+
-
a11
a12
a13
a21
a22
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31
a32
a33
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32

24.

Пример. Вычислить определитель матрицы по
правилу треугольника
2 1 1
2 1
1
1
2
3
1
1
1
A 1
2 3
1
1 1
2 2( 1) ( 1)( 3)1 1 1 1
1 2 1 ( 1)1( 1) 2( 3) 1
4 3 1 2 1 6 3

25.

Пример . Вычислить определитель, разложив
его по элементам первого столбца
3
2
4
2 1 3 1
3 1
0
1
1 1
4 1
2 1
2 1
3 1
2 1
3
0 1
1
3 1
2
1
2 1
3 1 1 4 1 1 0 3 4 1

26.

Пример . Вычислить определитель, используя
правило треугольника
3
2
4
2 1
0
3
1
1
3 ( 2) 1 2 1 0 4 3 1
1 ( 2) 0 2 4 1 ( 1) 3 ( 3)
6 0 12 0 8 9 1

27.

Основные свойства определителей
1.Определитель транспонированной матрицы
равен определителю исходной матрицы
D( AТ ) D( A)
2. Сумма произведений элементов какой-либо
строки (столбца) матрицы на алгебраические
дополнения элементов другой строки (столбца)
равна нулю.
3. При перестановке двух строк (столбцов)
местами определитель меняет знак.
4. Определитель с одинаковыми
(столбцами) равен нулю.
строками

28.

5. Умножение определителя на число
эквивалентно умножению строки (столбца) на
это же число.
6. Определитель с нулевой строкой (столбцом)
равен нулю.
7. Определитель матрицы не изменится, если к
элементам
какой-либо
строки
(столбца)
прибавить соответствующие элементы другой
строки (столбца), умноженные на одно и то же
число.
8. Определитель произведения квадратных
матриц равен произведению определителей
этих матриц:
A B A B

29.

Пример. Вычислить определитель
D
1
2
1
4
0
5
6
8
2
9
8
16
1
4
10 8
*2+
1
2
1
4
2
9
8
16
2
9
8
16
1
4
10 8
0

30.

Пример.
2 1
D 4
2
2 1
0
*2+
3 2
6
0
3
1
1
5 8
0
6
*(-5)+
0
0
2( 28) 56
*(-3)+
1 4
2
2 1
3
4
2 1 3
1
1
3
4
0 28

31.

Обратная матрица
Квадратная матрица А называется обратимой,
если существует обратная к ней матрица A 1 ,
удовлетворяющая соотношениям
A A A A E
1
1
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела
обратную матрицу, необходимо и достаточно,
чтобы определитель ее был не равен нулю;
тогда матрица А –невырожденная и
A11
1
A
A12
D ( A)
A13
1
A21
A31
A22
A32
A23
A33

32.

Свойства обратных матриц
1 1
1. A
A
A
T 1
1 T
2. A
3. A B B 1 A 1
1
1
4. D( A )
D( A)
1

33.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
1 2
A
1
1 2
2
1 0
1 2
1
1
0
1
0
D ( A) 2 1 2 2 3 4 1( 1)
1 0 1 1 2 2
1 1
3 4
2
2
2

34.

1 1
A11 ( 1)
0
A12 ( 1)1 2
1 3
A13 ( 1)
1
2 1
2 2
1 0 1
2
2
1
1
2
1
1 0
A21 ( 1)
A22 ( 1)
1 2
2 1
0 1
1 1
1 1
(2 2) 0
0 1 1
(2 0) 2
1 1 2
1 2
1
2 1 2
1 0
1

35.

A23 ( 1)
A31 ( 1)
A32 ( 1)
1 2
2 3
1 0
3 1
3 2
A33 ( 1)3 3
2
1
1 2
1
1
(0 2) 2
1 0
( 2 2) 4
2 2
1 2
1 4 3
2 1
1
A 0
2 4
2
1 2 3
1
2 1 2
4 1 5
1 2 5
1
1 2
0,5 1 2,5
0
1
2
0,5 1 1,5
1

36.

Проверка:
1 0,5 1 2,5
1 2
1
A A 2 1 2
1 0
1
2
1 0,5 1 1,5
0,5 0 0,5
0
1 2 1 2,5 4 1,5
1 0 1 2 1 2
0,5 0 0,5
1 0 1
1 0 0
0 1 0 E
0 0 1
5 2 3
2,5 0 1,5

37. Самостоятельная работа №1

1. Алгебраическое дополнение элемента
a23
2 2 1
матрицы
1)
2
2. Матрица
A 4 0
5
2 1
1
2)
-2
A
1) квадратной;
3) нулевой;
равно...
3)
1 1
0 1
6
4)
14
является.....
2) единичной;
4) диагональной

38. Самостоятельная работа №1

3 1
3. Определитель
1)
-1
2)
4. С матрицами
2
-5
A
равен .....
1
3)
5
2
3
4
5
4)
и
можно выполнить операцию......
1) A+ В
3) А х В
2) А - В
4) В х А
B
1
0
1

39. Самостоятельная работа №1

5. Сумма элементов побочной диагонали
матрицы произведения матрицы
B
4
5 0
6 1 3
1
на матрицу
A 5 0
4
слева равно.....
1)
13
2)
-18
3)
3
30
4)
7
-30

40.

Самостоятельная работа №1
a11 a12
1. Если определитель матрицы A
a21 a22
равен D, то определитель
матрицы B k A равен…..
2
kD
1)
2) k D
3) 2kD
4) D
a11 a12
2. Если определитель матрицы A
a21 a22
равен D, то определитель
обратной к ней матрицы равен…..
1) D
3) 2D
2
D
2)
4) 1/ D

41.

Самостоятельная работа №1
3. Матрица
1 k
1
3
является обратной
3 4
по отношению к матрице
1
1
1) 4
2) 2
3) -4
4) 0
при k=…
4. Если в определителе четвертого порядка
поменять местами второй и четвертый столбец,
то определитель…
1)изменит знак
3) обратится в нуль
2) не изменится
4) удвоится

42. Спасибо за внимание!

До свидания!