Механика. Часть 1. Лекция 2. Кинематика точки. Способы задания движения

1.

Национальный
исследовательский
Томский политехнический
университет
Часть 1
Комплект слайд-лекций для технических
специальностей университета

2.

доктор физико-математических наук,
профессор кафедры
Теоретической и прикладной механики
Томского политехнического университета

3.

Кинематика точки.
Способы задания движения.

4.

КИНЕМАТИКА
КИНЕМАТИКА изучает движение
тел с геометрической точки зрения,
без рассмотрения причин
вызывающих изменение этого
движения, то есть сил

5. Кинематика точки

1. ТРАЕКТОРИЯ
Траектория движения точки- это
непрерывная неизменяемая линия,
включающая в себя точки
пространства, которые
последовательно занимает точка в
процессе движения

6.

7.

8.

В каждой точке траектории можно
провести только одну касательную,
за исключением некоторых
особых точек
D
В
А
Особых точек нет
С
Точки С и D - особые

9.

Основная задача кинематики
состоит
в том, чтобы при помощи уравнений,
определяющих закон движения точки,
или системы точек, найти все
кинематические характеристики
движения:
•траектории различных
точек,
•их скорости,
•ускорения
•и т.д.

10. 2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Определить (задать) движение точки –
значит определить (задать) ее положение
относительно выбранной системы
отсчета в любой момент времени.
Существует три способа задания
движения точки:
• естественный
• координатный
• векторный

11. 2.1 ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ

Этим способом удобно пользоваться,
когда задана траектория движения точки
О
М

12.

2.1 ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ
Этим способом удобно пользоваться,
когда задана траектория движения точки
О
s
М

13.

Следует различать понятия:
• «пройденный путь»
• «перемещение»
• «дуговая (естественная)
координата» - s

14.

Следует различать понятия:
• «пройденный путь»
• «перемещение»
• «дуговая (естественная)
координата» - s
s s t
- закон движения точки
s(t) – функция однозначная, непрерывная,
дифференцируемая

15. График движения

s
O
t
В некоторых случаях вместо аналитической записи закона
движения используется график.

16. 2.2 Координатный способ

Виды координатных систем:
• декартова прямоугольная
• цилиндрическая (полярная)
• сферическая
• и т.д.

17. Декартова прямоугольная система координат

z
O
x
M
y

18.

Декартова прямоугольная система
координат
z
M
z t
O
x
y t
x t
y

19. Уравнения движения:

x x t
y y t
z z t
(1)

20. ПРИМЕР:

Точка совершает движение согласно
уравнениям:
x 6 3t
y 4t
Определить уравнение траектории
точки М.
(2)

21. РЕШЕНИЕ:

y
t ;
4
x 6 0 ,75 y

22.

РЕШЕНИЕ:
y
t ;
4
x 6 0 ,75 y
y
O
6
x
8
Траекторией точки является полупрямая линия.

23. Связь между декартовыми и естественными координатами

ds
dz
dx
dy
Элемент дуги ds предельно совпадает с диагональю
элементарного параллелепипеда.

24.

Связь между декартовыми и
естественными координатами
ds
dz
dx
dy
ds dx dy dz
2
2
2
2

25.

dx
dx dt ;
dt
dy
dy dt ;
dt
dz
dz dt
dt

26.

dx
dx dt ;
dt
dy
dy dt ;
dt
2
2
dz
dz dt
dt
2
dx dy dz
ds dt
dt dt dt
(3)

27.

dx
dx dt ;
dt
dy
dy dt ;
dt
2
dz
dz dt
dt
2
2
dx dy dz
ds dt
dt dt dt
s
2
2
(3)
2
dx dy dz
dt s0
dt dt dt
(4)

28.

Частный случай:
если подкоренное выражение не зависит
от времени:
2
2
2
dx dy dz
s t s0 (5)
dt dt dt

29.

Цилиндрические координаты
z
M
z t
O
x
t
y
t
t
t
z z t

30. Сферические координаты

z
r t
O
x
t
M
t
y
r r t
t
t

31. 2.3 ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ

М
O
r t
r r t
- закон движения

32.

2.3 ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ
М
O
r t
r r t
- закон движения
Связь с декартовыми координатами:
r xi yj zk

33. ПРИМЕР:

Закон движения точки задан в виде:
2
r 2ti 5 j 3t k
(7)
Записать закон движения точки в координатной форме.

34.

ПРИМЕР:
2
r 2ti 5 j 3t k
x 2t
y 5
2
z 3t
(7)

35.

После просмотра и конспектирования слайд-лекции
необходимо прочитать указанные страницы
учебников и дополнить конспект наиболее важными
сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики:
Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М: ВШ, 1986. С. 9599.

36.

Скорость точки.

37.

1. Векторный способ
z
O
x
r1
M1
y

38.

1. Векторный способ
z
M1
r1
O
x
r2
M2
y

39.

1. Векторный способ
z
M1
r1
O
x
r2
Δr
M2
y

40.

Δr
Vср
Δt
z
M1
r1
O
x
r2
- средняя скорость
Δr
M2
Vср
y

41.

Совершим предельный переход при
t 0
Получим значение скорости в данный момент
времени (мгновенную скорость):
r d r
V lim
dt
t 0 t
(1)

42.

V направлен по касательной
Вектор скорости
к траектории движения точки.
z
M
r
O
x
V
y

43.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Скорость точки в данный момент
времени есть вектор, определяемый как
производная по времени радиус-вектора,
характеризующего ее движение.
dr
V
dt
(2)

44.

2. Естественный способ
Так как
то
dr ds
dr
ds
V
dt
dt
(3)

45.

3. Координатный способ
Так как
то
r xi yj zk
dr dx dy dz
V
i
j k
dt dt
dt
dt
dx
Vx
;
dt
dy
Vy
;
dt
dz
Vz
;
dt
(4)

46.

Координатный способ
Модуль скорости:
V
2
2
2
Vx V y Vz
x y z
2
2
2
Направляющие косинусы вектора скорости:
Vy
cos V , j
;
V
Vx
cos V , i ;
V
Vz
cos V , k ;
V

47.

ПРИМЕР:
Точка движется прямолинейно
с постоянной скоростью.
Определить закон ее движения.
V0
О
M
x

48.

dx
V0 ;
dt
dx V0 dt
интегрируем
x V0t C
При
t 0
x x0
поэтому
x V0t x0
- линейный закон движения

49.

4.СКОРОСТЬ ТОЧКИ
при движении по окружности
Точка движется по окружности радиуса R
V
R
О
М

50.

4.СКОРОСТЬ ТОЧКИ
при движении по окружности
Точка движется по окружности радиуса R
V
R
О
М
φ
x

51.

ds
V ; ds R dφ ;
dt
dφ
dφ
V R ;
ω;
dt
dt
ω - угловая скорость
Формула Эйлера:
Период обращения:
V ωR
2 πR 2 π
T
ωR
ω
(5)
(6)

52.

6.ТЕОРЕМА
о сложении скоростей
Законы Ньютона сформулированы для движения точки
по отношению к инерциальным системам отсчета. Для
определения кинематических параметров точки при
движении относительно произвольно движущейся
системы отсчета вводится теория сложного движения.
Сложным называют движение точки по отношению к
двум или нескольким системам отсчета.

53.

6.ТЕОРЕМА
о сложении скоростей
К0 – условно неподвижная СО
К1 – подвижная СО
М
К1
К0

54.

6.ТЕОРЕМА
о сложении скоростей
К0 – условно неподвижная СО
К1 – подвижная СО
М
К0
rабс
rпер
rот
К1

55.

rабс rот rпер
Vабс Vот Vпер
(10)

56.

Пример:
Рассмотрим движение лодки поперек течения реки.
Vот
Vабс
Vпер

57.

Пример:
Лодка совершает сложное движение, которое возникает
в результате сложения относительного и переносного
движений.

58.

После просмотра и конспектирования слайд-лекции
необходимо прочитать указанные страницы
учебников и дополнить конспект наиболее важными
сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики:
Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М: ВШ, 1986. С. 99100.

59.

Ускорение точки.

60. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ 1. Векторный способ

y
O
M0
V0
x

61.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
y
M0
V0
M1
V1
O
x

62.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
y
V0
M0
V1
M1
V1
O
x

63.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
M0
y
ΔV
V0
M1
V1
O
x

64.

r r t - закон движения точки
V0 V t0 -скорость точки в положении М0
V1 V t0 t -скорость точки в положении М1

65.

r r t - закон движения точки
V0 V t0 -скорость точки в положении М0
V1 V t0 t -скорость точки в положении М1
V V1 V0 ; t t1 t0
V -среднее ускорение точки на отрезке
aср
t пути М0 М1

66.

V
dV
a lim
t 0 t
dt
Мгновенное ускорение точки:
2
d r
dV
a
2
dt
dt
(1)

67. 2. Координатный способ

r xi yj zk
2
2
2
d y
d z
d r d x
a 2 2 i 2 j 2 k
dt
dt
dt
dt
2

68.

2
d x
dVx
;
a x 2 x
dt
dt
2
dVy
d y
;
a y 2 y
dt
dt
2
d z
dVz
.
a z 2 z
dt
dt
(2)

69.

i
Модуль вектора ускорения:
a
2
2
2
ax a y az
Направление вектора ускорения:
ax
cos a , i ;
a
ay
cos a , j ;
a
az
cos a , k
a
(3)

70. 3. Естественный способ

М

71.

3. Естественный способ
М
n

72.

3. Естественный способ
b
М
n
b n

73.

b
Нормальная плоскость
М
n
Спрямляющая плоскость
Соприкасающаяся плоскость

74.

Лекционная видеодемонстрация
(дважды кликнуть по значку)
или выделить гиперссылку, кликнуть правой
кнопкой мыши, выбрать «Открыть
гиперссылку» и нажать левую кнопку мыши
Естественный трехгранник –
YouTube
www.youtube.com/watch?v=GLs2ZtPqsV
A

75.

М0
V0
М1
M 0 M1 s
V1
- дуговая координата
- угол смежности

76.

d
- кривизна кривой
k
ds
1
ds
- радиус кривизны в данной точке
k
d

77.

V V
d
dV dV
a
V
dt dt
dt
(4)
d d d ds V (примем
n
n n без вывода)
где
dt
dt
ds dt
Формула (4)
принимает
вид (5):
2
dV V
a
n
dt
(5)

78.

Тангенциальное (касательное) ускорение:
dV
a
dt
(6)
Нормальное ускорение:
an
V
2
(7)
Бинормальное ускорение:
ab 0

79.

a
an
a
dV V
dt
2
a
2
a an
2
2
2
(8)

80. 4. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Ранее рассматривали теорему о сложении
скоростей:
Vабс Vотн Vпер
(9)

81.

x
M
x1
z1
O
y
z
y1

82.

x
M
x1
r
z1
O
y
z
y1
-мгновенная угловая скорость подвижной системы
Ox1 y1z1 относительно неподвижной Ox yz

83.

dr -приращение радиус-вектора в системе Oxyz
~ -приращение радиус-вектора в системе Ox y z
1 1 1
dr

84.

dr -приращение радиус-вектора в системе Oxyz
~ -приращение радиус-вектора в системе Ox y z
1 1 1
dr
dr
-абсолютная производная
dt
~
dr
-локальная (относительная) производная
dt

85.

dr
Vабс
dt
(10)
~
dr
Vотн
dt
(11)
Vпер r
(12)

86.

Vабс Vотн Vпер
~
dr d r
r
dt
dt
(13)

87.

Vабс Vотн Vпер
~
dr d r
r
dt
dt
Аналогично для любого вектора с :
~
dc d c
c
dt
dt
(13)
(14)

88.

Более общий случай движения подвижной СК
относительно неподвижной СК
z
z
y
О
x
О1
y
x

89.

Vот н
z
М
аот н
z
y
О
x
О1
y
x

90.

Vот н
z
М
аот н
z
О
x
Vпер
y
аО1
О1
y
x

91.

Vот н
z
М
z
О
x
аот н
Vпер
y
аО1
О1
y
x

92. Теорема Кориолиса

aабс aотн апер акор
(15)

93.

Теорема Кориолиса
aабс aотн апер акор
~
~2
d Vот н d r
aот н
dt
dt 2
(15)
(16)
aпер a01 r r (17)
aкор 2 Vотн
(18)

94.

Теорема Кориолиса
Абсолютное ускорение
точки при сложном
движении
складывается из
относительного,
переносного и
кориолисова
ускорений.
Гаспар-Гюстав Кориолис
(1792-1843)

95.

После просмотра и конспектирования слайдлекции необходимо прочитать указанные
страницы учебников и дополнить конспект
наиболее важными сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической
механики: Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М:
ВШ, 1986. С. 100-103.

96.

Кинематика
абсолютно твердого тела.

97. КИНЕМАТИКА абсолютно твердого тела

Абсолютно твердым телом (АТТ) называется
такая механическая система, в которой
расстояние между любыми двумя точками
неизменно.

98.

Геометрические связи:
M 1M 2 const
M 1M 3 const
M 2 M 3 const
М1
М2
М3

99. 1. Простейшие движения АТТ

Простейшими называются поступательное и
вращательное (вокруг закрепленной оси)
движения твердого тела.

100. 1.1 Поступательное движение АТТ

Поступательным называют такое движение
АТТ, при котором любая прямая проведенная
в теле во все время движения остается
параллельной самой себе.

101.

В
А

102.

В1
А1
В2
А2

103.

В1
А1
rВ
В2
rA
А2

104.

rA rB
rA rB
t
t
VA VB
a A aB

105. Выводы:

1. При поступательном движении АТТ все его точки
описывают одинаковые траектории и в любой
момент времени имеют одинаковые скорости и
ускорения.
2. Поступательное движение АТТ вполне
определяется движением одной из его точек.
Следовательно изучение поступательного
движения АТТ сводится к кинематике точки.

106.

1.2 Вращение твердого тела вокруг
закрепленной оси
Если АТТ движется так, что две его точки,
например А и В, остаются неподвижными, то
движение тела называется вращательным, а
прямая АВ – осью вращения.

107.

108.

А
В
М

109.

z
А
P
В
Q
t
-закон вращательного движения

110.

d
t
- угловая скорость
dt
d
- угловое ускорение
dt

111. Частные случаи:

Случай 1:
const ;
0 t
0
(1)

112.

Случай 2:
const
d
dt

113.

Случай 2:
const
d
dt
0 t
(2)
t
0 0t
2
2
(3)

114.

z
А
P
В
Q
Векторы угловой скорости и углового ускорения
располагаются на оси вращения АТТ

115. 2. Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

z
А
В
x
О
r
М
y

116.

формула
Эйлера
V r
(4)
z
А
В
x
О
V
М
r
y

117.

i
V r x
x
j
k
i
y z
y
z
Проекции скорости на координатные оси:
Vx y z z y
Vy z x x z
V y x
x
y
z
(5)

118.

Вычислим ускорение точки М:
dV d r
a
dt
dt
d dr
r
dt
dt
r V

119.

Составляющие ускорения в проекции
на естественные оси:
а r V
(6)

120.

Составляющие ускорения в проекции
на естественные оси:
а r V
(6)
r aвр -вращательное ускорение (7)
(касательное, тангенциальное)
-осестремительное
V r aос (нормальное)
(8)
ускорение

121.

z
А
В
аос
V
a
вр
М
r
y
О
x
a
2
2
aвр aос
(9)

122.

После просмотра и конспектирования слайдлекции необходимо прочитать указанные
страницы учебников и дополнить конспект
наиболее важными сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической
механики: Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М:
ВШ, 1986. С. 117-126.

123.

Плоскопараллельное движение
твердого тела

124. 1. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ АТТ

Плоскопараллельным (плоским) называется такое
движение АТТ, при котором все его точки движутся
параллельно какой-нибудь неподвижной (основной)
плоскости

125.

Подвижная плоскость
Основная плоскость

126.

А
Подвижная плоскость
А1
В
В1
Основная плоскость

127. Примеры плоского движения:

- Качение колеса без поворотов
- Движение шестерней в зубчатой передаче
- Движение шатуна и кривошипа в
кривошипно-шатунном механизме

128.

129. Вывод:

Рассмотрение плоскопараллельного движения АТТ
сводится к изучению движения неизменяемой
плоской фигуры в ее плоскости

130.

Общий случай плоскопараллельного движения

131. Теорема 1:

Всякое перемещение плоской фигуры в ее
плоскости может быть составлено из поступательного
перемещения и поворота вокруг произвольного центра
(полюса).

132.

Разложение движения на поступательную
и вращательную составляющие

133.

В
А
А1
В1

134.

В
А
В
А1
В1

135.

В
А
В
А1
А
В1

136. Вывод:

Поступательная составляющая движения
зависит от выбора полюса, а вращательная –
нет.
Можно выбрать такой полюс, для которого
поступательная составляющая движения
вообще отсутствует. Такой полюс называется
центром конечного вращения.

137.

В
А
А1
В1

138.

В
А
А1
В1

139.

В
А
А1
В1

140.

В
А
А1
В1

141.

OAB OA1B1
А1
В
А
О
О – центр конечного вращения
В1

142. Следствие:

Всякое непоступательное движение плоской
фигуры в ее плоскости можно рассматривать
как непрерывную последовательность
бесконечно малых поворотов вокруг
мгновенных центров вращения.
Величина угловой скорости фигуры в данный
момент времени называется
мгновенной угловой скоростью вращения.

143.

Мгновенный центр вращения (скоростей) (МЦС)
плоской фигуры находится на пересечении
перпендикуляров к скоростям, проведенным
в двух точках.

144.

Мгновенный центр вращения (скоростей) (МЦС)
плоской фигуры находится на пересечении
перпендикуляров к скоростям, проведенным
в двух точках.
А
V1
В
V2

145.

Мгновенный центр вращения (скоростей) (МЦС)
плоской фигуры находится на пересечении
перпендикуляров к скоростям, проведенным
в двух точках.
А
V1
В
Р
V2

146.

Частный случай:
скорости точек параллельны
и различаются по величине
VA
А
VС
С
Р

147.

Частный случай:
скорости точек параллельны
и различаются по величине
А
М
С
Р
VA
V
М
VС

148.

Замечание:
Величина скорости точки плоской фигуры
при плоскопараллельном движении
пропорциональна расстоянию точки от МЦС
VМ MP

149. 2. Скорости точек плоской фигуры

y
M
r
A
O
x

150.

2. Скорости точек плоской фигуры
M
y
М
O
r
A
А
М А r
x

151.

d M d A d r
dt
dt
dt

152.

d M d A d r
dt
dt
dt
d M
VM
dt

153.

d M d A d r
dt
dt
dt
d M
VM ;
dt
d A
VA ;
dt

154.

d M d A d r
dt
dt
dt
d M
VM ;
dt
d A
VA ;
dt
dr
r VMA
dt

155.

d M d A d r
dt
dt
dt
d M
VM ;
dt
d A
VA ;
dt
dr
r VMA
dt
VM VA VMA

156.

ТЕОРЕМА
о скоростях точек плоской фигуры
Скорость любой точки плоской фигуры
находится
как векторная сумма скорости произвольного
центра и скорости данной точки при движении
вокруг этого центра

157. Пример: качение колеса

М
С
VС

158.

Пример: качение колеса
VMС
М
С
VС

159.

Пример: качение колеса
VMС
VС
М
С
Р

160.

Пример: качение колеса
VM
VMС
М
VС
С
Р

161. Теорема о проекциях скоростей

Проекции скоростей концов неизменяемого
отрезка на его направление равны
между собой.

162.

VA
А
В
VВ

163. 3. Ускорения точек плоской фигуры

VM VA VMA VA r

164.

3.Ускорения точек плоской фигуры
VM VA VMA VA r
dVM dVA d dr
r
dt
dt
dt
dt

165.

Так как
dVA
a A - ускорение центра А
dt
d
dt
- угловое ускорение плоской фигуры
dr -скорость точки М при движении
r
вокруг центра А
dt

166.

2
aM a A r r
вр цс
aM a A аМА аМА
aM a A аМА

167. Вывод:

Ускорение точки плоской фигуры при
плоскопараллельном движении
геометрически складывается из ускорения
выбранного полюса и ускорения, которое
получает точка при вращении фигуры
вокруг полюса.

168.

После просмотра и конспектирования слайд-лекции
необходимо прочитать указанные страницы
учебников и дополнить конспект наиболее важными
сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической
механики: Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М:
ВШ, 1986. С. 127-147.

169.

Динамика материальной точки

170.

Динамика изучает механическое движение
материальных тел в зависимости от
действующих на них сил.

171. Законы динамики

Первый закон Ньютона
(закон инерции):
Системы отсчета (СО), в которых
материальная точка находится в покое или
движется прямолинейно и равномерно, если
все действующие на нее силы
скомпенсированы (уравновешены),
называются инерциальными.

172.

Второй закон Ньютона (основной):
В инерциальной СО ускорение,
приобретаемое материальной точкой
постоянной массы, прямо пропорционально
действующей на точку силе и обратно
пропорционально ее массе.
F
a
m
(1)

173.

Третий закон Ньютона
(«действия-противодействия»):
В инерциальной системе отсчета при
взаимодействии двух тел на них действуют
силы одинаковые по модулю и
противоположные по направлению.

174. Дифференциальные уравнения движения точки

1. Векторная форма
d r
m 2 F
dt
2
(3)
n
где F Fi -главный вектор действующих
i 1
на точку сил

175. 2. Координатная форма

В проекции на прямоугольные координатные оси:
d x
m dt 2 Fx
2
d y
Fy
m
2
dt2
m d z F
z
2
dt
2
(4)

176.

3. Естественный способ
b
М
n
b n

177.

b
Нормальная плоскость
М
n
Спрямляющая плоскость
Соприкасающаяся плоскость

178. Естественный трехграник

М
b
n

179.

Лекционная видеодемонстрация
(дважды кликнуть по значку)
(или выделить гиперссылку, кликнуть правой
кнопкой мыши, выбрать «Открыть гиперссылку» и
нажать левую кнопку мыши)
Естественный трехгранник – YouTube
www.youtube.com/watch?v=GLs2ZtPqsVA

180.

Тангенциальное (касательное) ускорение:
2
dV
d s
a
2
dt
dt
(5)
Нормальное ускорение:
an
V
2
(6)

181.

Дифференциальные уравнения в естественной форме:
d s
m
F
2
dt
V2
m
Fn
2
(7)

182.

М
b
n
Fn
F

183.

Основные задачи динамики точки
Первая (прямая) задача:
Определение действующей силы по заданному
закону движения точки известной массы
Вторая (обратная) задача:
Определение закона движения точки определенной
массы под действием заданных сил при известных
начальных условиях

184.

Таким образом, первая задача динамики сводится
к дифференцированию закона движения точки
по времени и, поэтому всегда разрешима.
Решение второй задачи динамики требует
интегрирования дифференциальных уравнений
движения и, поэтому не всегда разрешима
аналитически.

185.

После просмотра и конспектирования слайд-лекции
необходимо прочитать указанные страницы
учебников и дополнить конспект наиболее важными
сведениями
Тарг С.М.
Краткий курс теоретической
механики: Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М:
ВШ, 1986. С. 180-201.
Рекомендованные учебники и учебные пособия выложены в
информационном модуле