Методы решения иррациональных уравнений
Метод возведения в степень
Пример 3.
Метод составления смешанной системы
Метод введения новой переменной
Метод разложения подкоренного выражения на множители
Метод умножения на сопряженное выражение
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений
Использование монотонности
Самостоятельная работа
При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
Пример 8.
Пример 3.
Метод возведения в степень
Метод введения новой переменной
Метод составления смешанной системы
Метод умножения на сопряженное выражение
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений
Использование монотонности
Метод разложения подкоренного выражения на множители
М о л о д е ц !
892.50K
Категория: МатематикаМатематика

Методы решения иррациональных уравнений

1. Методы решения иррациональных уравнений

2. Метод возведения в степень

Пример 1.
5х 1 2х 1
5х – 1 = 4х2 – 4х + 1
4х2 – 9х + 2 = 0
9 7
х1,2 =
8
1
4
1
Проверка: х =
4
Ответ: 2.
х1 = 2
х2 =
посторонний корень

3.

Пример
2.
8 х 1 3х 5 7 х 4 2 х 2
8 х 1 2 х 2 7 х 4 3х 5
8х + 1 + 2х – 2 – 2 (8х 1)(2 х 2) = 7х + 4 + 3х – 5 – 2 (7 х 4)(3х 5)
(8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5)
х = 3;
6
Проверка: х= 5
Ответ: 3.
х=-
6
5
посторонний корень

4. Пример 3.

х 3 х 3... 3 2
х 3 х 3 х... 3 4
3х2 х 3 х... 3 16 т.к.
х 3 х 3... 3 2 , то
3х2 . 3 2 3 16
3х2 = 2
2
3
х 1= -
Проверка: х = .
Ответ:
2
3
2
3
х2 =
2
3
посторонний корень

5. Метод составления смешанной системы

( x) 0,
Решение
Решениеуравнений
уравненийвида
вида f ( x) ( x) f ( x) 2 ( x)
Пример.
x x 2 4,
f ( x) ( x),
x 2 x 4;
f ( x) ( х) f ( x) 0,
( либо ( x) x 0 ).4,
x 4 0,
x 4,
2
x 7, x 7.
2
x 2 ( x 4) ;
x 9 x 14 0;
x 2;
Ответ: 7.

6. Метод введения новой переменной

Пример 1.
х 32 24 х 32 3
Пусть
4
х 32 а ; а 0
а2 -2а – 3 =0
а1 = -1 не удовлетворяет условиюа 0
а2 = 3
х 32 3
х + 32 = 81
х = 49
4
Ответ: 49.

7.

Пример 2.
х 3 4 х 1 х 8 6 х 1 1
Пусть
х 1 у,
у 0
х = у2 + 1
у 4у 4 у 6у 9 1
2
2
у 2 2 у 3 2 1
|y – 2| + |y – 3| = 1

8.

1) у 2
2) 2 у 3
у=2
1=1
2 y 3 y 1
у 2 3 у 1
2 у 3
Решений нет
2 х 1 3
4 х 1 9
5 х 10
Ответ: [5; 10]
3) у 3
у 2 у 3 1
у=3
Решений нет

9. Метод разложения подкоренного выражения на множители

Пример.
2 х 2 21х 11 2 х 2 9 х 4 18 х 9
(2 х 1)( х 11) (2 х 1)( х 4) 3 2 х 1 0
2х 1
х 11 х 4 3 0
2х – 1 = 0 или
х = 0,5
х 11 х 4 3
х 11 х 4 6 х 4 9
6 х 4 16
решений нет
Проверка:
Ответ:
1
1
1
1
1
2 21 11 2 9 4 18 9
4
2
4
2
2
0,5.
11 11 4 4 0
верно

10. Метод умножения на сопряженное выражение

Пример.
(1)
2
2
3 х 2 5 х 8 3 х 2 5 х 1 1 | . ( 3х 5 х 8 3х 5 х 1 )
3х 5 х 8 3х 5 х 1
2
2
2
2
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1 = 7
Сложим данное
уравнение с
уравнением (1),
получим:
2 3х 2 5 х 8 8
|:2
3х 2 5 х 8 4
3х2 + 5х + 8 = 16
3х2 + 5х – 8 = 0
х =
1
Проверкой убеждаемся, что
8
; 1.
Ответ:
3
8
3
х1 , х2
х2 = 1
- корни уравнения.

11. Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений

Пример 1.
3
х 1 1 х 2
3 х 1 а,
x 1 a 3 ,
2
х
2
b
,
b
0
,
x
2
b
,
a b 1;
a b 1;
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
3
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0
2
х 1 0
х=-1
Ответ: -2; -1; 7.
1 a 3 b 2 ,
a b 1;
a2 = 1
3
х 1 1
х=-2
1 a 3 b 2 ,
b 1 a;
a3 = 3
х 1 2
х=7

12. Использование монотонности

Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.
Пример.
2 х 1 5х 5 8
f(x) =
f(x) = 8
x=4
Ответ: 4.
2 х 1 5х 5
1
возрастает на D(f) = [ ; )
2

13. Самостоятельная работа

Задание: решите уравнение.

14. При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ

?
Ответ

15. Пример 1.

х х х... 2
?
Ответ

16. Пример 2.

2 х
2 х
4
3
2 х
2 х
?
Ответ

17. Пример 3.

х 3 х 2х 7
2
?
Ответ

18. Пример 4.

2 х 8х 7 2 х 8х 7 2 х
2
?
2
Ответ

19. Пример 5.

3
?
х 34 х 3 1
3
Ответ

20. Пример 6.

х 2 2х 5 х 2 3 2х 5 7 2
?
Ответ

21. Пример 7.

3
?
2х 1 7 х 6 2
8
Ответ

22. Пример 8.

х 4 х 3 х 3х 2 х х
2
2
?
2
Ответ

23.

х х х... 2
Пример 1.
х х... 4
х
Т.к.
х х х... 2 , то
2х = 4
х=2
Проверка:
1
2
1
4
1
8
2 2 2 ... 2
1 1 1
...
2 4 8
1
2
1
1
2
2
21 2
Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле
a1
S
1 q
next

24.

Пример 2.
Пусть
2 х
2 х
4
3
2 х
2 х
2 х
у,
2 х
y > 0.
next
Получим уравнение
4
у 3
у
Тогда у2 + 3у – 4 = 0
у1 = 1, у2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0)
2 х
1
2 х
2–х=2+х
х=0
Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения
Ответ: 0.

25. Пример 3.

х 3 х 2х 7
2
х 4,
х 3 х 2 х 7,
х 3х 4 0,
х 1,
х 3 0;
х 3;
х 3;
2
2
х=4
Ответ: 4.
next

26.

Пример 4.
(1)
2 х 2 8х 7 2 х 2 8х 7 2 х | ∙ ( 2 х 2 8 х 7 2 х 2 8 х 7 )
2 х 8 х 7 2 х 8 х 7 2 х 2 х 8 х 7 2 х 8 х 7
2
2
2
2
2
2
2 х 2 х 2 8 х 7 2 х 2 8 х 7 16 х
х=0 или
2 х 8х 7 2 х 8х 7 8
2
2
Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим
2 2 х 2 8х 7 2 х 8
2 х 2 8х 7 х 4
Ответ: -3; 0; 3.
х 4,
х 4 0,
х 3,
х 3,
2
2
х 3.
2 х 8 х 7 ( х 4) ;
х 3;
next

27.

Пример 5.
3
х 34 3 х 3 1
3 х 34 а,
a 3 x 34,
3
a 3 b3 37,
3
х 3 b, b x 3,
a b 1;
a b 1;
a b 1;
(a b)( a 2 ab b2 ) 37,
a 2 ab b2 37,
a b 1,
2
a b 1;
a b 1;
3b 3b 36 0;
a b 1,
a b 1,
2
b 3,
b b 12 0;
b 4.
Ответ: -61; 30.
1)
3
x 3 3
х – 3 = 27
х = 30
2)
3
x 3 4
х – 3 = -64
х = -61
next

28.

Пример 6.
х 2 2х 5 х 2 3 2х 5 7 2
Пусть
2 х 5 у,
2х – 5 = у2
у 0
у2 5
х
2
у2 5
2 у
2
у2 5
2 3у 7 2
2
у 1 2 у 3 2 7 2
2
|y + 1| + |y + 3| = 14,
Ответ: 15.
у + 1 + у + 3 = 14
2у = 10
у=5
Тогда х = 15.
2
|
2
т.к. у 0, то |y + 1| = y + 1,
|y + 3| = y + 3
next

29.

Пример 7.
3
2х 1 8 7 х 6 2
Пусть f(x) =
3
2х 1 8 7 х 6
D(f) = 6 ; )
7
Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то
уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня
на указанном промежутке.
Подбором определяем: х = 1.
Ответ: 1.
next

30. Метод возведения в степень

х 3 х 3... 3 2
х 3 х 3 х... 3 4
3х2 х 3 х... 3 16 т.к.
х 3 х 3... 3 2 , то
3х2 . 3 2 3 16
3х2 = 2
2
3
х 1= -
Проверка: х = .
Ответ:
2
3
2
3
х2 =
2
3
посторонний корень
назад

31. Метод введения новой переменной

х 32 24 х 32 3
Пусть
4
х 32 а ; а 0
а2 -2а – 3 =0
а1 = -1 не удовлетворяет условиюа 0
а2 = 3
х 32 3
х + 32 = 81
х = 49
4
Ответ: 49.
назад

32. Метод составления смешанной системы

Решение уравнений вида
f ( x) ( x),
f ( x) ( х) f ( x) 0,
( либо ( x) 0).
назад

33. Метод умножения на сопряженное выражение

(1)
2
2
3 х 2 5 х 8 3 х 2 5 х 1 1 | . ( 3х 5 х 8 3х 5 х 1 )
3х 5 х 8 3х 5 х 1
2
2
2
2
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1
3х 2 5 х 8 3х 2 5 х 1 = 7
3х 2 5 х 8 4
3х2 + 5х + 8 = 16
3х2 + 5х – 8 = 0
х =
1
Проверкой убеждаемся, что
8
; 1.
Ответ:
3
8
3
х2 = 1
х1 , х2 - корни уравнения.
назад

34. Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений

3
х 1 1 х 2
3 х 1 а,
x 1 a 3 ,
3
3
1
a
b
,
2
х 2 b, b 0, x 2 b ,
a b 1;
a b 1;
a b 1;
a3 + 1 – 2a + a2 = 1
3
a3 + a2 – 2a = 0
a1 = 0
2
х 1 0
х=-1
Ответ: -2; -1; 7.
a2 = 1
3
х 1 1
х=-2
1 a 3 b3 ,
b 1 a;
a3 = 3
х 1 2
х=7
назад

35. Использование монотонности

Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает
(убывает) на некотором промежутке I, то
уравнение f(x) = С, где С – некоторое
действительное число, имеет не более одного
решения на промежутке I.
Пример.
2 х 1 5х 5 8
f(x) =
2 х 1 5х 5
1
возрастает на D(f) = [ ; )
2
f(x) = 8
x=4
Ответ: 4.
назад

36.

Метод введения новой переменной.
х 3 4 х 1 х 8 6 х 1 1
Пусть
х 1 у,
у 0
х = у2 + 1
у 4у 4 у 6у 9 1
2
2
у 2 2 у 3 2 1
|y – 2| + |y – 3| = 1

37.

1) у 2
2) 2 у 3
у=2
1=1
2 y 3 y 1
у 2 3 у 1
2 у 3
Решений нет
3) у 3
у 2 у 3 1
у=3
Решений нет
2 х 1 3
4 х 1 9
5 х 10
Ответ: [5; 10]
назад

38. Метод разложения подкоренного выражения на множители

Пример.
2 х 2 21х 11 2 х 2 9 х 4 18 х 9
(2 х 1)( х 11) (2 х 1)( х 4) 3 2 х 1 0
2х 1
х 11 х 4 3 0
2х – 1 = 0 или
х = 0,5
х 11 х 4 3
х 11 х 4 6 х 4 9
6 х 4 16
решений нет
Проверка:
Ответ:
1
1
1
1
1
2 21 11 2 9 4 18 9
4
2
4
2
2
0,5.
11 11 4 4 0
верно
назад

39.

( х 1)( х 3) ( х 1)( х 2) х( х 1)
х 4 х 3 х 3х 2 х х
2
2
х 1
х 1 0
х=1
2
х 3 2 х х 0
или
х 3 2 х х 0
х 3 х 2 х
х 3 х 2 х(2 х) 2 х
2 х( 2 х) 5 х
4(2 х х 2 ) 25 10 х х 2
5 х 2 18 х 25 0
Ответ: 1.
D < 0, решений нет
next

40.

Проверка: х =
1
4
2
3
х 3 х 3... 3 2
1
16
1
16
2
2
2
3 3 ...
3
3 1
3
1
1
4
1
3
1 1
...
4 16
3
1 1
...
4 16
1
3
2
2
3 3 2 3 2.
3
3
3
3
Показатели степени образуют бесконечную
убывающую геометрическую
прогрессию, сумму которой можно найти по формуле
a1
S
1 q
назад

41. М о л о д е ц !

Молодец!
English     Русский Правила