Кривые второго порядка

1.

Кривые второго
порядка

2.

План:
Общее уравнение кривой второго порядка
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

3.

Общее уравнение кривой
второго порядка
К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

4.

Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0
AM R
R
x a y b R
2
2
х
x a y b R
2
Каноническое уравнение
окружности
2
2

5.

Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в
середине отрезка [F1 F2]
r1 r2 2a
y
r1
F1( c; 0);
F2 (c; 0)
r2
r1 F1M
x c y
r2 F2M
x c y
2
2
F2
F1
-c
M(x; y)
0
c
х
2
2

6.

Эллипс
y
b
r1
-c
r2
Fмалая
2c
1F2 полуось
F
F1
-а
M(x; y)
x2 y 2
2 1
2
a
b
0
c2
а х
r1 r2 2a
c 2 a2 b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние
фокальные радиусы точки
М
a
r1 a x; r2 a x
-b
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a c;
a b;
0 1

7.

Пример
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c 4
c
0 .8
a
c 2 a2 b2
b 2 a 2 c 2 25 16 9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a
5
0 .8
5 х
x2 y 2
1
25 9
b 3

8.

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
y
r1 r2 2a
M(x; y)
r1
F2
F1
-c
0
c
r2
х
F1( c; 0);
F2 (c; 0)
r1 F1M
x c y
r2 F2M
x c y
2
2
2
2

9.

Гипербола
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
M(x; y)
r1 r2 2a
r1b
F
F1
-c -а
0
-b
а2 c
r2
b
y x
a
х
c 2 a2 b2
c
мнимая полуось
полуось
фокальные
действительная
a
радиусы
точки М
Для гиперболы справедливо: 1
эксцентриситет гиперболы
асимптоты
гиперболы

10.

Пример
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:
6
y
x
3
b
6
a
3
3b 6a
x2 y 2
62 ( 4)2
2 1 2
1
Точка А лежит на гиперболе
2
2
a
b
a
b
36b 2 16a 2 a 2b 2
2
3b 6a
b2 a2
Решим систему:
3
2
2
2 2
2
2
2 2
36b 16a a b
36
b
16
a
a
b
2 2
2
2
b
a
a 2 3
a
12
3
2
2
b 8
b 2 2
24a 2 16a 2 a 4
3

11.

Пример
Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2
1
12 8
y
2 2
2 3
2 3 х
0
2 2

12.

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек на
плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой
фиксированной точки той же плоскости
p
p
F ( ;0 ), называемой фокусом, равно расстоянию до прямой: x
2
2
y
r d
d
M(x; y)
r
p
2
0
p
2
p 0
2
F
p
F ( ; 0)
2
х
p
r FM x y 2
2
d x
p
2

13.

Парабола
каноническое
уравнение параболы
2
p
p
2
x
y
x
2
2
2
2
p
p
x 2 px
y 2 x 2 px
4
4
y
y 2 2px
директриса параболы
p
r x
d
M(x; y)
r
2
фокальный радиус
F
p
2
0
p
2
х
фокус параболы
Эксцентриситет параболы: 1

14.

Преобразование общего уравнения к
каноническому виду
Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0
2
2
Составим из коэффициентов уравнения два определителя:
A B
B C
Дискриминант
уравнения
A B D
B C E
D E F
Дискриминант старших
0
членов уравнения 0
0
Эллипс
Точка
0
Гипербола
Пара пересекающихся
прямых
0
Парабола
Пара параллельных
прямых

15.

Преобразование общего уравнения к
каноническому виду
Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy=0:
Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду
рассмотрим на примере:
16 x 2 25y 2 32x 50y 359 0
16x 2 32x 25y 2 50y 359 0
16 x 2 2x 25 y 2 2y 359
16 x 2 2x 1 25 y 2 2y 1 359 16 25
16 x 1 25 y 1 400
2
2
x 1 y 1 1
2
25
2
16