94.76K
Категория: МатематикаМатематика

Метод стрельбы решения краевой задачи. Лекция 10

1.

Метод стрельбы решения краевой задачи
Лекция 10

2.

Разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу
Пусть дана двухточечная краевая задача для ОДУ второго порядка:
y // p( x) y f ( x),0 x X ,
y (0) A, y ( X ) B
(1)
( 2)
Построим разностную схему со вторым порядком аппроксимации. Для
этого введем на отрезке [0, X ] равномерную сетку с шагом h :
h {xn n h, n 0,1,..., N , Nh X }.
Тогда разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1), (2)
имеет вид:
y n 1 2 y n y n 1
l
(
y
)
p n y n f n , n 1, N 1,
n
2
h
y A, y B
N
0
где pn = p(xn), fn = f(xn).
(3)
( 4)

3.

Метод стрельбы
Решение yn системы линейных алгебраических уравнений (3) представим в
виде
y n y n0 Cy 1n ,
(5)
где y n0 - решение системы
l ( y n0 ) f n , n 1, N 1
0
y 0 A, y10
(6)
(7 )
α – произвольное число. А y 1n - решение системы
l ( y1n ) 0, n 1, N 1
1
y 0 0, y11 0
(8)
(9 )

4.

Метод стрельбы
С – постоянная, которая определяется из второго граничного условия
схемы (1). При n=N из (3) имеем
y N B y N0 cy 1N
отсюда
B y N0
С
y1N
(10)
Замечание: для экономии оперативной памяти компьютера можно не
запоминать yi0 и yi1 , i 0, N . Достаточно запомнить только y N0 и y1N для
вычисления С по формуле (10) и y10 , y11 , затем найти yn по формулам
yn 1 (2 h2 pn ) yn yn 1 h2 f n , n 1, N
y0 A, y1 y10 Cy11.

5.

Алгоритм метода стрельбы
Таким образом, систему (3), (4) можно решить по алгоритму,
состоящему из следующих пунктов
0. Выбираем произвольно α и β≠0.
1. Решаем систему (6), (7). Для этого из уравнения (6) выражаем y n0 1
через остальные переменные:
y n0 1 (2 h 2 p n ) y n0 y n0 1 h 2 f n , n 1, N 1
(11)
Пользуясь (7) последовательно вычисляем по формуле (11) y 00 , y10 ,
y 20 , …, y N0 и запоминаем их.
2. Решаем аналогичным образом систему (8), (9) и запоминаем y 10 , y11 ,
y 12 , …, y 1N .
3. Вычисляем С по формуле (10).
4. По формуле (5) вычисляем последовательно y0, y1, …, yN
Полученные значения yn ≈ y(xn), n 0, N , где y(xn) – решение краевой
задачи (3), (4).
English     Русский Правила