Интегральное исчисление функции. Лекция 3. Интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических выражений

1.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ
ЛЕКЦИЯ 3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ.

2. Интегрирование по частям

Любое подынтегральное выражение можно разбить
на две части вида: u ( x)d (v( x)) или udv.
2x
2 x
x
xe
dx
x
x
3
dx
e dx x cos xdx arctgxdx cos(ln x)dx
u dv
u dv
u dv
u dv
u dv
u dv
Теорема 3.1. Если для дифференцируемых функций
u( x) u и v( x) v существует интеграл вида vdu,
то для них существует и интеграл вида udv, причем
Формула
интегрирования
по частям
udv uv vdu.
Выразим это слагаемое.
Доказательство. (uv) u v uv , uv (uv) u v,
uv dx ((uv) u v)dx,
Проинтегрируем обе части равенства
((uv) u v)dx (uv) dx u vdx d (uv) vdu uv vdu.
udv uv vdu.

3.

Разбиение на части нужно делать так, чтобы
интеграл справа оказался проще, чем интеграл слева.
Группа 1: u Pn (x), dv - остальная часть подынтегрального выражения
x
x
P
(
x
)
cos
xdx
;
P
(
x
)
e
dx.
P
(
x
)
a
dx
;
P
(
x
)
sin
xdx
;
n
n
n
n
Интегрировать нужно n раз.
Группа 2: dv Pn ( x)dx, u -остальная часть подынтегрального выражения
Pn ( x) arcsin xdx; Pn ( x) arccos xdx; Pn ( x)arctgxdx; Pn ( x)arcctgxdx;
k
ln
x
k
Pn ( x) ln xdx, k N ; dx, k N , α 1.
x