Криволинейные интегралы 1 и 2 типа

1.

Математика 2
Криволинейные интегралы 1 и 2 типа
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна

2.

Криволинейный интеграл
Опр. Кривая (AB) называется спрямляемой, если существует предел
последовательности длин ломаных, вписанных в кривую, при Ds→0.
Не спрямляема
Спрямляема
y
Dsi
B
y x sin
A
Dх1 Dх2 Dх3
1
2x
x
y (t )
a t b
x
(
t
)
называется гладкой, если функции имеют на [a,b] непрерывные производные,
одновременно не равные нулю.
Опр. Кривая (AB) заданная параметрическими уравнениями
Если в конечном числе точек отрезка [a,b] эти производные не существуют или
одновременно обращаются в ноль, кривая называется кусочно-гладкой.

3.

Криволинейный интеграл первого рода
Задача: вычислить массу кривой (AB) с линейной плотностью f ( M )
y
B
Оставить место для формулы
A
x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть дана простая гладкая кривая (AB) и в каждой точке кривой определена ф. f(M).
а) Разобьем кривую (AB) на n частей: T ={A1 , A2 , …, An},
б) выберем точки Mi ∊ (Ai , Ai+1 )
n
n
i 1
i 1
в) составим сумму ( M , T ) f ( M i )D li f ( xi , yi , zi )Dli
Если при Dl→0 имеет конечный предел , не зависящий от выбора точки Mi и от
способа разбиения T, то этот предел называется криволинейным интегралом I рода
от ф-ии
f(M) взятым по кривой (AB)
I
( AB )
f ( M )dl lim ( M , T )
d 0

4.

Вычисление
1. (AB) – плоская кривая, заданная параметрически
x= (t) y= (t)
a≤t≤b
f (M )dl
AB
2. (AB) – кривая, заданная параметрически (в пространстве)
x= (t) y= (t) z=z(t) a ≤ t ≤ b

5.

Вычисление
3. (AB) – плоская кривая, заданная в полярных координтатах
r = r( )
1 ≤ ≤ 2
4. (AB) – плоская кривая, заданная явно
y=y(x) a ≤ x ≤ b

6.

Физические приложения криволинейного интеграла
Пусть L – материальная плоская кривая с линейной плотностью r(x,y)
Длина кривой L
L dl
L
Масса кривой L
M r( x; y )dl
L
Статический моменты кривой L
M x y r( x; y )dl
L
относительно осей OХ и OY
M y x r( x; y )dl
L
My
Координаты центра тяжести
кривой L
x0
Момент инерции относительно
начала координат
I 0 ( x 2 y 2 ) r( x; y )dl
M
y0
Mx
M
L
Момент инерции относительно оси OX
I x y 2 r( x; y )dl
L
пропустить 1.5 страницы
оси OY
I y x 2 r( x; y )dl
L

7.

Криволинейный интеграл второго рода
y
Mi
Ai
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ai+1
An-1
Dli
A2
A1
B
A
x
Пусть дана кривая L (AB) и в каждой точке кривой определена ф. f(M).
а) Разобьем кривую L (AB) на n частей T {A1 , A2 , …, An},
б) выберем точки Mi ∊ (Ai , Ai+1 )
в) составим произведение f( Mi ) D xi , где D xi − проекция (Ai , Ai+1) на ось Ox
г) обозначим d=max| Ai , Ai+1 | максимальный диаметр элементарной дуги
n
n
д) составим сумму
f ( M )D x f ( , , )D x
i 1
i
i
i 1
i
i
i
i
Если при d→0 имеет конечный предел , не зависящий от выбора точки Mi
и от способа разбиения T, то этот предел называется
криволинейным интегралом II рода от f(M) взятым по кривой (AB)
I f ( M )d x lim ( M i , T )
L
d 0

8.

Аналогично строятся интегралы
I * f ( M )d y
( AB )
Записать самостоятельно!
I ** f ( M )d z
( AB )
Пусть на (АВ) определены функции
и существуют интегралы
P( M ); Q( M ); R( M )
I, I*, I**.
Тогда можно записать
криволинейный интеграл II рода общего типа
P ( x, y , z ) d x Q ( x, y , z ) d y R ( x, y , z ) d z
AB

9.

Свойства (характерные именно для криволинейного интеграла I и II рода).
1. Если функция f ( M ) непрерывна на кривой ( AB ), то криволинейный
интеграл существует.
2. Криволинейный интеграл I рода не зависит от ориентации кривой, т.е.
f ( M )dl f (M )dl
AB
BA
(почему?)
3. Криволинейный интеграл II рода меняет знак при изменении направления
кривой
AB
f ( M )d x
f ( M )d x
BA
(почему?)
Остальные свойства аналогичны свойствам определенного интеграла

10.

Вычисление
1. (AB) – кривая, заданная параметрически (в пространстве)
x=x(t)
y=y(t) z=z(t) a ≤ t ≤ b
P ( x, y , z ) d x Q ( x, y , z ) d y R ( x, y , z ) d z
AB
b
( P( x(t ), y (t ), z (t )) x Q( x(t ), y (t ), z (t )) y R( x(t ), y (t ), z (t )) z )dt
a
2. (AB) – плоская кривая, заданная явно y=f(x) x1 ≤ x ≤ x2
P ( x, y , z ) d x Q ( x, y , z ) d y
AB
x2
P( x, y ( x)) Q( x, y ( x)) y dx
x1
пропустить 15 клеточек

11.

Физический смысл
Pd x Qd y Rd z
AB
Пусть в каждой точке пространства V задана векторная функции – сила
F Pi Q j Rk
По кривой (АВ), заданной в пространстве V, под действием силы F
перемещается материальная точка. Найти работу.
y
Fi
Ai+1
yi+ Dyi
yi
Dsi
Ai
An-1
B
A2
A1
A
пропустить 1 страницу
xi
xi+ Dxi
x

12.

Интеграл по замкнутому контуру
y
B
А
x
Положительным направлением обхода замкнутого контура называется то
направление, при котором область внутри контура остается слева от
наблюдателя.
Обход против часовой стрелки. Ориентация плоскости – правая.
Если выбран обход контура по часовой стрелки, то ориентация плоскости
– левая.
Обозначается
Pdx Qdy
C

13.

Циркуляция векторного поля
Циркуляцией векторного поля F(M) называется линейный интеграл, взятый
вдоль замкнутого контура ориентированной кривой ( K )
Ц F , d s Pd x Qd y Rd z
K
K
Физический смысл. Циркуляция – работа по перемещению точки вдоль
замкнутого контура под действием силы F(M)
пропустить страницу

14.

Теорема. ФОРМУЛА ГРИНА. (связь между двойным интегралом по области D и
криволинейным интегралом по контуру C, ограничивающему область D )
Пусть С – замкнутый контур, ограничивающий область D, D – правильная
область. Пусть во всех точках D заданы непрерывные со своими частными
производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда
Q( x, y ) P( x, y )
dxdy
P( x, y )d x Q( x, y )d y
x
y
C
D
y
y2(x)
A
D
M
B
a
пропустить 1.5 страницу
N
y1(x)
b
x