Интегрирование тригонометрических функций

1.

Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
sin ax cos bxdx, cos ax cos bxdx, sin ax sin bxdx, где a b
Находятся с помощью формул:
1
sin ax cos bx sin(a b) x sin(a b) x ;
2
1
cos ax cos bx cos(a b) x cos(a b) x ;
2
1
sin ax sin bx cos(a b) x cos(a b) x .
2

2.

Пример №1. Найти интеграл:
sin 3 x cos 7 xdx
Решение: Воспользуемся формулой
1
sin
ax
cos
bx
sin(
a
b
)
x
sin(
a
b
)
x
2
1
sin(3 7) x sin(3 7) x
2
1
1
sin3x cos7 xdx 2 (sin( 4x) sin10x)dx 2 (sin10x sin4x)dx
1
1
1
cos10 x cos10 x
(
cos10 x cos 4 x) C
C
2 10
4
8
20

3.

cos 6 x cos xdx
Пример№2.
Найти интеграл:
Решение:
Воспользуемся формулой:
1
cos ax cos bx cos(a b) x cos(a b) x
2
Получим:
1
cos6 x cos x cos(6 1) x cos(6 1) x
2
cos 6 x cos xdx
1
sin 5 x sin 7 x
(cos5
x
cos
7
x
)
dx
C
2
10
14

4.

sin x cos xdx
Для нахождения таких интегралов используются следующие
Интегралы типа
m
n
приемы:
1) Подстановка
если n целое положительное
нечетное число;
2) Подстановка cos x t , если m целое положительное
нечетное число;
3) Формулы понижения порядка:
sin x t,
1
1
1
2
cos x (1 cos2 x),sin x (1 cos2 x),sin x cos x sin 2 x,
2
2
2
2
Если m и n целые неотрицательные четные числа;
4)Подстановка
если m n есть четное
отрицательное целое число.
tgx t ,

5.

Пример№1. Найти интеграл: I
sin x cos xdx.
4
5
Решение: Применим подстановку sin x t. Т.к.n=5 (1 cлучай).
x arcsin t
Тогда
1
dx
dt
2
1 t
cos x 1 t 2
5
Получим: I t ( 1 t )
4
2
dt
1 t2
t 4 ( 1 t 2 )4 dt t 4 (1 t 2 )2 dt
5
7
9
t
t
t
1 5
2 7
1 9
4
6
8
(t 2t t )dt 2 C sin x sin x sin x C.
5
7 9
5
7
9