Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Постановка и решение задачи Коши
Метод ломаных Эйлера
Метод ломаных Эйлера
Метод ломаных Эйлера
Метод ломаных Эйлера
Метод Эйлера : выводы
Метод Эйлера : выводы
Примеры
Примеры
Примеры
Метод Эйлера : выводы
Модифицированный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера
Модифицированный метод Эйлера – Коши
Модифицированные методы Эйлера
Примеры
Методы Рунге-Кутты
Методы Рунге-Кутты
Метод Рунге-Кутты IV порядка
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы
Разностные методы для краевых задач
1.05M
Категория: МатематикаМатематика

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

2. Постановка и решение задачи Коши

Решением дифференциального
уравнения (ДУ) I порядка
y’ = f (x,y) ,
разрешенного относительно
производной, называется функция
y = (x) ,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество

3. Постановка и решение задачи Коши

Решением дифференциального
уравнения (ДУ) I порядка
y’ = f (x,y) ,
разрешенного относительно
производной, называется функция
y = (x) ,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество
’(x) f (x, (x)) .

4. Постановка и решение задачи Коши

Задача Коши для одного
дифференциального уравнения
первого порядка разрешенного
относительно производной
y’= f(x,y)
y(x0)= y0
состоит в нахождении частного
решения ДУ, удовлетворяющего
начальному условию y(x0)= y0.

5. Постановка и решение задачи Коши

Геометрический смысл задачи Коши:
найти такую интегральную кривую
(график решения), которая
проходит через заданную начальную
точку M(x0, y0).

6. Постановка и решение задачи Коши

Геометрический смысл задачи Коши:
найти такую интегральную кривую
(график решения), которая
проходит через заданную начальную
точку M(x0, y0).

7. Постановка и решение задачи Коши

Возможны 2 пути решения задачи Коши:
1. Аналитический
2. Численный

8. Постановка и решение задачи Коши

Решить задачу Коши численно —
значит для заданной
последовательности значений
аргумента (узлов ) x0, x1, … xn , и
числа y0 (значение искомой функции в
начальном узле x0 ), не находя самогo
решения y = (x) , приближенно
вычислить значения
y1, y2, ….yn
этого решения в остальных узлах.

9. Постановка и решение задачи Коши

Численное решение задачи Коши
позволяет вместо отыскания точного
решения y = (x) в виде формулы
получить таблицу значений
xi
x0
x1
x2
(xi) (x0) y1
yn

xn
yn

10. Метод ломаных Эйлера

основан на кусочной замене искомой
функции полиномом первой степени,
т. е. на линейной интерполяции.

11. Метод ломаных Эйлера

Рассмотрим систему равноотстоящих
узлов
x 0 , x 1 , … x n,
где xk= x0 +kh, k=1, 2, 3,….

12. Метод ломаных Эйлера

Будем искать решение в виде
yk+1= yk +h f (xk ,yk) .

13. Метод ломаных Эйлера

14. Метод Эйлера : выводы

Метод Эйлера — представитель
одношаговых приближенных методов,
в которых решение в (k +1)-м узле
получается на основе решения только
в одном предыдущем k-м узле. Тем
самым информация о более ранних
уже вычисленных значениях
игнорируется

15. Метод Эйлера : выводы

Как и в любом одношаговом методе,
начиная со второго шага исходное
значение yk в формуле
yk+1= yk +h f (xk ,yk)
самo является приближенным, т. е.
погрешность на каждом последующем
шаге систематически возрастает.

16. Примеры

Решить задачу Коши
y’=-y
y(0)=1

17. Примеры

Точное решение
y=e-x

18. Примеры

Теперь применим приближенный
метод Эйлера
f (x, y) = -y, x0 =0 ; y0 =1
yk+1= yk +h f (xk ,yk), k=1, 2, 3, 4, 5
Пусть h=0.2
yk+1= 0.8yk

19. Метод Эйлера : выводы

Погрешность метода О(h)
Уменьшение h повышает точность
вычислений, но резко увеличивает их
объем.
В целом метод ломаных Эйлера
применим только для грубой прикидки

20. Модифицированный метод Эйлера

21. Модифицированный метод Эйлера

22. Модифицированный метод Эйлера – Коши

23. Модифицированные методы Эйлера

Точность методов O(h2)

24. Примеры

Теперь применим приближенный
метод Эйлера
f (x, y) = -y, x0 =0 ; y0 =1
yk+1= yk +h f (xk ,yk), k=1, 2, 3, 4, 5
Пусть h=0.2
yk+1= 0.8yk

25. Методы Рунге-Кутты

Идея, предложенная Рунге (1856–
1927) и Куттой (1867–1944),
заключается в том, чтобы при
численном решении задачи Коши
использовать значение функции
f(x,y), вычисляя ее на каждом
шаге ее значения в нескольких
точках

26. Методы Рунге-Кутты

Идея, предложенная Рунге (1856–
1927) и Куттой (1867–1944),
заключается в том, чтобы при
численном решении задачи Коши
использовать значение функции
f(x,y), вычисляя ее на каждом
шаге ее значения в нескольких
точках

27. Метод Рунге-Кутты IV порядка

28. Примеры

Решить задачу Коши
y’=y(1-x)
y(0)=1

29. Примеры

Точное решение

30. Примеры

Правая часть уравнения
f(x,y)=y(1-x)
x0=0, y0=1

31. Примеры

32. Примеры

Рассмотрим уравнение
y’+y=3e2x
на интервале x [0, 1]
Точное решение уравнения
y(x)=e2x

33. Примеры

34. Конечно-разностные методы

Рассмотренные выше методы требуют
многократного вычисления значений
правой части уравнения.
Можно воспользоваться функции
конечноразностной аппроксимацией.

35. Конечно-разностные методы

Пусть рассматривается задача
y’= f(x,y)
y(x0)= y0

36. Конечно-разностные методы

Решение:
1. Найдем решение уравнения в
первых p точках одним их
описанных методом
2. Для следующих точек решение
будем искать в виде

37. Конечно-разностные методы

3. Заменим подинтегральную функцию
интерполяционным многочленом
4. Вычислим значения функции в
оставшихся точках

38. Конечно-разностные методы

Возьмем в качестве
интерполяционного многочлена
формулу Ньютона
интерполирования вперед

39. Конечно-разностные методы

Получим экстраполяционную
формулу Адамса

40. Конечно-разностные методы

Экстраполяционная формула Адамса
при n=3:

41. Конечно-разностные методы

При использовании формулы
Ньютона интерполирования назад,
получаем интерполяционную
формулу Адамса (при p=3)

42. Разностные методы для краевых задач

При использовании формулы
Ньютона интерполирования назад,
получаем интерполяционную
формулу Адамса (при p=3)
English     Русский Правила