Системный анализ в условиях поведенческой неопределенности

1. Системный анализ в условиях поведенческой неопределенности.

1. Теория игр.
2. Ситуация равновесия в биматричной игре.
3. Смешанные стратегии игроков.

2.

Биматричная игра конечная бескоалиционная
игра двух лиц, которая задается двумя матрицами
A a
ij
B b
ij
одинакового размера m n , являющимися
выигрышами соответственно игроков 1 и 2.
Стратегией игрока 1 является выбор строки матриц,
стратегией игрока 2 выбор столбца.
Если игрок 1 выбирает i-ую строку (1 ≤ i ≤ m), а
игрок 2 выбирает j-ый столбец (1 ≤ j ≤ n), то они
получают соответственно выигрыши aij и bij.
Если aij + bij = 0 для всех i,j, то биматричная игра
является матричной игрой.

3. Ситуация равновесия в биматричных играх

Ситуация (i*; j*) называется равновесной, если
выполняются следующие условия:
ai j ai j
bi j bi j
*
*
*
*
i 1,2
*
*
j 1,2
В равновесной ситуации игроки добиваются наибольших
выигрышей стратегиями i = i*, j = j*. Их называют
равновесными стратегиями, а соответствующие элементы
матриц выигрышей равновесными выигрышами
игроков.

4. Пример: Конфликтная ситуация задана биматрицей:

4,2 (1,6)
(0,3)
(3,1)
Необходимо проанализировать каким стратегиям
целесообразно придерживаться игрокам.

5. Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.

Максиминная смешанная стратегия первого игрока
определяется путем решения уравнения:
a11 p a21 1 p a12 p a22 1 p
4 p 0 1 p 1 p 3 1 p
Откуда p*=0,5, выигрыш первого игрока равен:
М 1 4 0,5 2
*

6. Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.

Максиминная смешанная стратегия второго игрока
определяется путем решения уравнения:
b11 q b12 1 q b21 q b22 1 q
2 q 6 1 q 3 q 1 1 q
Откуда q*=5/6, выигрыш второго игрока равен:
5
1
М 2 2 6 2,667
6
6
*

7. Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.

Первый игрок должен выбрать такую стратегию,
чтобы при любой выбранной стратегии второй игрок
получил одинаковый выигрыш. Для этого должно
выполняться условие:
b11 p b21 1 p b12 p b22 1 p
2 p 3 1 p 6 p 1 1 p
Откуда p0=1/3, выигрыш второго игрока равен:
1
2
М 2 2 3 2,667
3
3
0

8. Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.

Второй игрок должен выбрать такую стратегию, чтобы
при любой выбранной стратегии первый игрок
получил одинаковый выигрыш. Для этого должно
выполняться условие:
a11 q a12 1 q a21 q a22 1 q
4 q 1 1 q 0 q 3 1 q
Откуда q0=1/3, выигрыш первого игрока равен:
1
2
М 1 4 1 2
3
3
0

9. Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смещанную.

Вариант 3. Один игрок применяет максиминную
смешанную стратегию, а другой равновесную
смещанную.
Если первый игрок применяет свою равновесную
стратегию, а второй игрок свою максиминную, то
выигрыши игроков определяются следующим образом:
0
*
0
0 , *
1 0 *
1 *
1 0 1 *
M 1 p q a11 p q a21 p q a12 p q a22 p q
0
*
0
0 , *
1 0 *
1 *
1 0 1 *
M 2 p q b11 p q b21 p q b12 p q b22 p q
0 , * 4 1 5 0 2 5 1 1 1 3 2 1 1,5
M 1 p q 3 6 3 6 3 6 3 6
0 , * 2 1 5 3 2 5 6 1 1 1 2 1 2,667
M 2 p q 3 6 3 6 3 6 3 6

10. Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смешанную.

Вариант 3. Один игрок применяет максиминную
смешанную стратегию, а другой равновесную
смешанную.
Если первый игрок применяет свою максиминную
стратегию, а второй игрок свою равновесную, то
выигрыши игроков определяются следующим образом:
*
0
*
0
*
0
*
0
* , 0
M 1 p q a11 p q a21 1 p q a12 p 1 q a22 1 p 1 q
*
0
*
* , 0
1 * 0
1 0
1 * 1 0
M 2 p q b11 p q b21 p q b12 p q b22 p q
* , 0 4 1 1 0 1 1 1 1 2 3 1 2 2
M 1 p q 2 3 2 3 2 3 2 3
* , 0 2 1 1 3 1 1 6 1 2 1 1 2 3,167
M 2 p q 2 3 2 3 2 3 2 3

11. Результаты расчетов

Стратегия
первого игрока
Максиминная
смешанная
Равновесная
смешанная
Стратегия второго игрока
Максиминная
Равновесная
смешанная
смешанная
(2; 2,667)
(2; 3,167)
(1,5; 2,667)
(2; 2,667)
Ответ: Первому игроку целесообразно придерживаться
максиминной смешанной стратегии, второму –
равновесной смешанной стратегии.

12. Задание на самостоятельное выполнение: Конфликтная ситуация задана биматрицей:

(5; 3)
(2; 5)
(1; 6)
(3; 2)
Необходимо проанализировать каким стратегиям
целесообразно придерживаться игрокам.