Теория электрической связи. Лекция 2. Сигналы и их спектры

1.

профессор, д.т.н. Ермолаев Виктор Тимофеевич
Лекция 2 “Сигналы и их спектры “
1

2. Классификация сигналов

1. Сигналы могут быть детерминированными,
квазидетерминированными и случайными.
2. Сигналы могут быть финитными или
инфинитными.
3. Сигналы могут быть периодическими и
непериодическими.
Примеры:
x(t ) Acos t
2
2 f
T
e t , t 0
x t
; 0
0, t 0
A, , , f ,T ,
Параметры
сигнала
2

3. Две группы сигналов

1. К первой группе сигналов относятся
сигналы с конечной энергией.
2. Ко второй группе сигналов относятся
сигналы с бесконечной энергией.
E x x 2 t dt
Энергия
сигнала
T
1
2
S x lim
x
t dt
T 2T
T
Средняя мощность
сигнала
3

4. Свойства сигналов первой группы (1)

1. Прямоугольный сигнал
0, t t 0
x t A, t 0 t t 0
0, t t
0
E x A2
2. Треугольный сигнал
t t0
, t t 0
A 1
x t
0, t t 0
2 2
Ex A
3
4

5. Свойства сигналов первой группы (2)

3. Экспоненциальный импульс
Ae t t0 , t t 0
1
x t
0, t t 0
1 2
Ex A
2
2
A
E x A 2 e 2 t t0 dt A 2 e 2 d
2
t0
0
4. Пример более сложного сигнала
2
A
e 2 xmax
xmax
; Ex
Ate t , t 0
e
4
x t
0, t 0
2
A
Ex x 2 t dt A2 t 2 e 2 t dt 3
4
0
5

6. Гармонический сигнал

x(t ) Acos t
T0
1
2
x
t dt
T0 2T
0 T0
S x lim
T
T
1 0 2
A2 0
2
t dt
S x lim
x
(
t
)
dt
lim
cos
T0 2T
T0 2T
0 T0
0 T0
2
T0
A
1
1 2
1
cos
2
t
2
dt
A
T0 2T
2
0 T0 2
lim
Мощность гармонического сигнала не зависит от частоты и
фазы и равна квадрату амплитуды, деленному на два.
6

7. Спектр сигнала

Преобразование Фурье
2
2 f
T
1
x t
C x exp j t d
2
спектральная плотность амплитуды сигнала
C x x t exp j t dt
C x C
x
Линейность преобразования
x t x(t )
C
( )
x
C x exp j
7

8. Спектр сигнала

C x x t exp j t dt
=0!
x t cos t dt j x t sin t dt
x(t) – четная функция
x t cos t dt 2 x t cos t dt
x(t) – нечетная функция
0
C x 2 j x t sin t dt
0
8

9. Спектр энергии сигнала

1
2
E x x t dt x t dt
C x exp j t d
2
1
C x d x t exp j t dt
2
1
2
2
C x d C x f df
2
спектральная плотность энергии сигнала
1
2
C x
2
Cx f
2
9

10. Свойства спектров энергии

1. Спектр энергии является четной функцией.
C x C x
2
2
2. Спектр является неотрицательной величиной.
C x 0
2
3. Спектр энергии не зависит от задержки сигнала.
C
C x
2
2 C x
2
( )
x
C x
2
2
математическая
спектральная
плотность
физическая
спектральная
плотность
10

11. Примеры спектров энергии (1)

Экспоненциальный импульс
Ae t t0 , t t 0
x t
0, t t 0
Ex
1
1 2
A
2
Cx A exp t t0 exp j t dt
t0
A exp j t0
A exp j t0 exp j t dt
j
0
11

12. Примеры спектров энергии (2)

2
A
2
C x 2
2
1
1
2
C 0 E x
2
2
2
1
f
4
Произведение длительности сигнала на
ширину спектра есть постоянная величина
12

13. Примеры спектров энергии (3)

Ae t0 t , t t 0
x t
0, t t 0
A exp j t0
C x
j
A2
C x 2
2
2
13

14. Примеры спектров энергии (4)

A
A
2A
C x
j 2
j j
2
C x
2
4 A2 2
2
2 2
C x x t exp j t dt C x 0 x t dt 0
4
2
14

15. Примеры спектров энергии (5)

x t Ae
t
A
A
2 A
C x
2
j j 2
C x
2
при >>
4 A2 2
2 2
2
C x
2
4 A2 2
4
15

16. Примеры спектров энергии (6)

C x
2
A 2 2 sin 2
2
2
sin
2
2 2
2
C x A
2
2
2
2
2
16

17. Сигналы с неинтегрируемыми спектрами энергии (1)

t
x t Ae
t
A
2
B
lim
2
e
t
(t )
x t B (t )
В = const
B 2
4
2
2
2
C x lim
B
2
2 2
2
C x
2
4A
2
2
2 2
2
17

18. Сигналы с неинтегрируемыми спектрами энергии (2)

B (t )
C (t )
C (t )
0
t
x t B (t ) C (t )
C x B C exp j B 2 C 2 2 BC cos
2
2
18

19. Сигналы с неинтегрируемыми спектрами энергии (3)

Ae t , t 0
x t
0, t 0
C x
2
0
A2
A2
lim 2
2
0 2
19

20. Синусоидальный импульс (1)

x(t ) A cos 0 t
T
Т
2
C x A cos 0 t exp j t dt
T
2
exp j 0t exp j 0t
A
exp j t dt
2
T
T
2
2
T
T
sin
sin
0
0
A
2
2
C x ( )
T
T
2
0
0
2
2
20

21. Синусоидальный импульс (2)

Т
4Т
2Т
T
T
sin
sin
0
0
A 2
2
2
2
C x ( )
T
T
4
0
0
2
2
21
2

22. Расширение спектра кодом Уолша

x(t ) A cos 0 t
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
0
0
0
0
x(t ) A cos 0 t A cos 0 t
22

23. Спектр сигнала после квадратичного детектирования

1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
0
0
0
0
1
x (t ) A cos 0 t A 1 cos 2 0 t 2
2
2
2
2
2
23

24. Линейно-частотно модулированный (ЛЧМ) сигнал

T
x(t ) A cos 2 f t t A cos 2 f 2 t 2
f T>>1
f
24

25.

25