Углы и отрезки, связанные с окружностью. Решение задач

1.

Углы и отрезки, связанные
с окружностью
Решение задач

2.

№ 816
B
О
D
А
E
Дано: окр. (О,ОА),
DϵOA, OA∩BC=D, ВС – хорда,
ВС ┴ ОА, ВЕ – касательная.
Доказать: ВА – биссектриса ‫ے‬СВЕ
Доказательство:
C 1. Так как ЕВА угол между касательной и хордой, то
ЕВА
1
1
ВА АОВ ( АОВ центральный угол).
2
2
2. Так как ВО =ОС – радиусы, то ∆ВОС – равнобедренный,
значит OD – биссектриса ∆ВОС, поэтому ‫ ے‬АОВ=‫ے‬АОС.
3. Так как АВС вписанный угол, то АВС
1
1
АС АОС .
2
2
1
1
4. Значит АОВ АОС , то ЕВА АВС .
2
2
5. Следовательно, луч ВА является биссектрисой ‫ ے‬СВЕ.
ч.т.д.

3.

К
А
В₁
Дано: окр. (О₁; R₁), (O₂; R₂),
М – точка касания окружностей,
АВ, А₁В₁ - секущие, АВ∩А₁В₁=М
Доказать, что АА₁ II ВВ₁.
М
А₁
№ 817
К₁
В
Доказательство:
1. Проведём прямую МК общую касательную к окружностям.
2. Так как КМВ1 , А1МК1 углы между касательной и хордой, то
1
1
МВ1 МВВ1 , А1МК1 А1М А1 АМ
2
2
( МВВ1 , А1 АМ вписанные углы).
КМВ1
3. Но ‫ے‬КМВ₁ = ‫ے‬А₁МК₁ как вертикальные углы, то ‫ے‬А₁АМ = ‫ے‬МВВ₁.
4. Следовательно АА₁ II ВВ₁, так как ‫ے‬А₁АМ и ‫ے‬МВВ₁ накрест
лежащие углы.
ч.т.д.

4.

№ 818
рис. 208
Дано: АС – касательная к окр. (О₁; R₁), BD – касательная к окр. (О₂; R₂)
Доказать, что а) AD II BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
Доказательство:
а) 1). Так как DBA , CAB углы между касательной и хордой,
1
1
то DBA AMB ACB, CAB ANB ADB.
2
2
2). Из теоремы о сумме углов ABD и АВС имеем
DAB 180 BDA ABD 180 CAB ACB ABC ,
т.е. DAB ABC накрест лежащие углы AD BC .
б) 3) ∆ABD ̴ ∆ABC по I признаку подобия треугольников, то
AD AB
AB AB AD BC , т.е. AB 2 AD BC .
AB BC
AD AB BD
BD AB
BD 2 AB 2
в ) 4) Так как
2
2
AB BC AC
AC BC
AC
BC
BD 2 AD BC
BD 2 AD
2
2
BD
:
AC
AD : BC .
2
2
2
AC
BC
AC
BC
ч.т.д.

5.

№ 819
К
Дано: ABCD – четырёхугольник, М ϵ (ABCD),
М – точка окружностей описанных около
∆АВМ и ∆CDM, (ABM) ∩ (CDM) = M.
Доказать, что ‫ے‬AMD = ‫ے‬ABM + ‫ے‬MCD.
Доказательство:
1). Проведём через точку М касательную к окружности,
описанной около ∆АВМ.
1
2). Тогда АМК АМ АВМ (т.к. АМК угол между
2
касательной и хордой).
1
3). Значит KMD MD MCD.
2
4). Следовательно КМ является касательной к окружности,
описанной около ∆MCD.
5). Поэтому ‫ے‬AMD = ‫ے‬AMK + ‫ے‬KMD = ‫ے‬ABM + ‫ے‬MCD.
ч.т.д.

6.

№ 820
M
N
O
Дано: ∆АВС, окр. (О; R),
окр. ∩ BC = P, Q, BP = CQ,
АВ, АС – касательные.
Доказать, что ∆АВС равнобедренный.
Доказательство:
1). По теореме о касательной и секущей имеем
ВМ² = ВР·BQ, CN² = CQ·CP.
2). Так как BP = CQ, то BM² = BP·BQ = BP·(BP + PQ) =
CQ·(CQ + PQ) = CQ·CP = CN², значит ВМ = СN.
3). ∆АОМ = ∆АОN по общей гипотенузе АО и катетам
MO = NO – радиусы, MO ┴ AB, NO ┴ AC, значит AM = AN.
4). Поэтому AB = AM + BM = AN + CN = AC, т.е. АВ = АС.
5). Следовательно ∆АВС равнобедренный.
ч.т.д.