Как определить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой основе

1. Как определить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой основе

2. Георг Пик

Свою первую работу опубликовал
в возрасте 17 лет.
Круг его математических
интересов был чрезвычайно
широк. 67 его работ
посвящены многим разделам
математики, таким как:
линейная алгебра, интегральное
исчисление, геометрия,
функциональный анализ, теория
потенциала.

3. Теорема Пика

Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899
году. Теорема привлекла довольно большое
внимание и начала вызывать восхищение своей
простотой и элегантностью.
По теореме Пика площадь многоугольника равна:
Г : 2 + В – 1, где
Г – число узлов решетки на границе многоугольника
В – число узлов решетки внутри многоугольника.
Формула Пика, или как считать площади многоугольников,
полезна при решении заданий ОГЭ и ЕГЭ.
Формула Пика — классический результат комбинаторной
геометрии и геометрии чисел.

4. Вычисление узлов.

В = 35
Г = 15

5. Вычисление узлов

В=43, Г=14

6. B=6, Г= 3 S = Г/2+ В – 1 S = 3/2+ 6– 1 = 6,5

Пример 1
B=6, Г= 3 S = Г/2+ В – 1
S = 3/2+ 6– 1 = 6,5

7. В=9, Г=4 S = Г/2+ В – 1 S = 4/2 + 9– 1 = 10

Пример 2
В=9, Г=4
S = Г/2+ В – 1
S = 4/2 + 9– 1 = 10

8. Возникает вопрос: получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами? Оказывается, все просто…

По формулам площади
1
1
1 7 3,5 S 2 2 7 7
2
2
1
1
S
1 5 2,5
S 3 1 4 2 4
2
2
S1
S5 12 1
S кв 7 2 49
S = 49-(3,5 +7+2+2,5+1) = 33 (см²)
По формуле Пика Г= 4; В= 32
4
S 32 1 33см 2
2

9. … быстро и легко…

По формулам площади
1
S1
6 3 9
2
1
S2
6 6 18
2
1
S3
6 3 9
2
S 9 18 9 36
По формуле Пика
Г=18, В= 28
S= 28 +
– 1 = 36(см²)

10. Попробуйте сами…

По формулам площади
и теореме Пифагора
a=
b=
=6
=3
S a b 6 2 3 2 36см
По формуле Пика
Г= 18, В = 28
S = 28 +
– 1 =36см²
2

11. Задание ОГЭ

Найдите площадь
четырёхугольника
АВСD
Решение.
По формуле Пика:
S = В +Г/2-1
В = 5, Г = 7
S = 5+7/2–1=7,5(см²)
Ответ: 7,5 см².

12. Таким образом, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой

Таким образом, формула Пика имеет ряд преимуществ
перед другими способами вычисления площадей
многоугольников на клетчатой бумаге:
- Для вычисления площади многоугольника, нужно знать
всего одну формулу:
S=Г:2+В -1.
- Формула Пика очень проста для запоминания.
Формула Пика очень удобна и проста в применении.
- Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить,
может быть любой, даже самой причудливой формы.
В = О, Г = 4
S = 0 + 4/2 = 2
В = 2, Г = 7
S = 2 + 7/2 = 5,5

13. Пользуясь формулой Пика, найдите площади треугольников: