Похідна за напрямком. Градієнт. Застосування диференціала до наближених обчислень

1. Похідна за напрямком. Градієнт. Застосування диференціала до наближених обчислень

2.

1. Опрацювати наступні питання лекційного матеріалу:
- частинні похідні функцій багатьох змінних;
- повний диференціал функції;
- частинні похідні другого і вищих порядків;
- повний диференціал другого порядку функцій двох змінних.
2. Самостійно опрацювати питання:
2.1. Похідна за напрямком. Градієнт.
2.2. Застосування диференціала до наближених обчислень.

3.

2.1. Похідна за напрямком. Градієнт.
Означення. Нехай функція y f ( x) визначена в деякому околі точки P0 ( x0 ; y0 );
l деякий промінь з початком в точці P0 ( x0 ; y0 ) ; P( x; y) - точка на цьому
промені, яка належить околу, що розглядається l довжина відрізка PP0 .
Границя lim f ( P) f ( P0 ) , якщо вона існує, називається похідною функції z f ( x; y)
l 0
за напрямом l
у lточці P0 і позначається z .
l
Теорема 4. Якщо функція y f ( x)має в точці P0 ( x0 ; y0 )неперервні частинні
похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом l cos ;cos ,
причому
(2.1.1)
Де z
z
z
z
P0
P 0 cos
P 0 cos
x
y
l
і z
P
x
y 0
P0 ( x0 ; y0 )
P0
- значення частинних похідних функції z f ( x; y) у точці
z
Похідна за напрямом
характеризує швидкість змінювання функції z f ( x; y)
l
в точці P0 за напрямом l.

4.

Наприклад. Знайти похідну функції
u x2 y 2
l cos300 ;cos600 .
у точці (1; 1) за напрямом
Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1;1) функції u x 2 y:2
u
u
2
x
2,
(1;1)
(1;1) 2 y (1;1) 2. Тоді за формулою похідної за напрямом
(1;1)
x
y
дістанемо:
z
2cos300 2cos600 1 3 .
l
Означення. Вектор з координатами z ; z , який характеризує напрям
x y
максимального зростання функції
z f ( x; y) у точці P0 ( x0 ; y0 ), називається градієнтом функції z f ( x; y) у цій
точці і позначається
z
z
gradz
P0 i
P0 j . (2.1.2)
x
y
Наприклад. Знайти градієнт функціїu 4 x 2 2 y 2 xy z 2 y 2
у точці (1; 2; -1).
Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; -1):
u
u
2
2
x
y
4,
4
y
x
2
z
y (1;2; 1) 2,
(1;2; 1)
(1;2; 1)
(1;2; 1)
x
y

5.

u
. Тоді
.
2
grad
u
4
i
2
j
8
k
2
zy
8
(1;2; 1)
(1;2; 1)
z

6.

2.2. Застосування диференціала до наближених
обчислень.
Якщо функція y f ( x) диференційована в точці P0 ( x0 ; y0 )то виконується
'
'
рівність z A x B y або f x0 x; y0 y f x0 ; y0 f x x0 ; y0 x f y x0 ; y0 y
Узявши в наближеній рівності a x0 x, b y0 y, дістанемо:
(2.2.1)
f a; b f x0 ; y0 f x' x0 ; y0 a x0 f y' x0 ; y0 b y0
На формулі (2.2.1) ґрунтується алгоритм використання диференціала для
наближених обчислень.
Наприклад. Обчислити наближеноsin 280 tg 480 , замінюючи приріст функції її
повним диференціалом. Відомо, що sin 300 0,5; tg 450 1. Треба
0
0
0
0
обчислити sin 30 2 tg 45 3 . Розглянемо функцію z sin xtgy .
Введемо позначення: x 300 , y 450 ,
0
0
0
x
2
0,0175
0,035
2
6
4
y 3 0,0175 0,0525 30 . Скористуємось наближеною формулою:
f x0 x; y0 y f x0 ; y0 df x0 ; y0 , тобто
f x0 x; y0 y f x0 ; y0 f x' x0 ; y0 x f y' x0 ; y0 y (2.2.2)
Знайдемо f ' x; y cos xtgy, f ' x; y sin x
x
y
1
cos2 y
f x0 ; y0 f ; sin tg 0,5 1 0,5 ,
6
4
6 4

7.

f x' x0 ; y0 cos
6
tg
4
3
,
2
f y' x0 ; y0 sin
Підставляючи в (2.2.2), одержимо:
1
6 cos
2
1
4
sin 280 tg 480 = sin 300 20 tg 450 30 =
3
sin x tg y 0,5
0,035 1 0,0525
6
4
2
0,5000 0,0525 0,0303 0,522
Завдання для самостійної роботи:
1.Знайти градієнт функції gradZ та величину градієнта gradZ функції z f ( :x; y)
в точці P0 ( x0 ; y0 )
а) z x 2 2 y 2 5, P0 ( 2;1) ;
д) u x 2 y 2 z 2 , P0 (1; 1;2) ;
б) z 4 x 2 y 2 , P (1;2) ;
е) u 4 x 2 y 2 z 2 , P0 (3;2;1) ;
0
2
в) z x y , P0 (1;1) ;
є) u x 2 y 2 z 2 , P ( 1;2;0) ;
0
xy
г) z
ж) u xyz , P0 (3; 1;2) .
, P (0;3) ;
x2 y 2 1
0

8.

2. Обчислити наближено значення:
3,96
а) 1,08 ;
ж) cos620 tg 430 ;
2
3
2
б) sin1,59tg 3,09;
з) 2,003 3,998 1,002 ;
в) 1,942 e0,12 ;
sin 0,05
г) 2,68
;
д) 1,97 1,03 ;
е) 2,02 0,96 ;
є) sin 290 tg 470 ;
и) 2,892 3,962 ;
і) 1,033 1,993 ;
й) 1,043 1,983 3,023 ;
к) 0,9983 3,0033 2,0053 ;
1
л)
5,97 2 8,052 .