Комплексные числа (Алгебра и начала математического анализа. 11 класс)

1.

Мы никогда не стали бы разумными, если бы
исключили число из человеческой природы.
Платон
Комплексные
числа
(Алгебра и начала математического анализа 11 класс)

2.

История развития чисел
N – натуральные числа
(natural - естественный)
N
1,2,3,4,…
Первое аксиоматическое
определение
множества натуральных
чисел дано итальянским
математиком Джузеппе
Пеано (1858 – 1932)

3.

История развития чисел
Z – целые числа
(zero – нуль)
Z
N
… - 2, -1, 0, 1,2,3,…
В VII веке индийский математик
Брахмагупта активно
использует понятие
отрицательного числа и уже
полностью владеет теорией
решения уравнений первой и
второй степени с одним
неизвестным. В европейскую
практику отрицательное число
вошло только в ХII – XIV веках. Так
постепенно сформировалось
понятие целого числа.

4.

История развития чисел
Q – рациональные числа
(quotient - отношение)
Q
1
2
3
17
Z
N
… - 2, -1, 0, 1,2,3,…
0,25
4,6(11)
В древнеегипетском папирусе
Райнда, переписанным около
1650 г. до н.э. писцом
Ахмесом, рассматривались
1
лишь дроби вида п , п N
( аликвотные) для решения
различных задач.

5.

История развития чисел
Q – рациональные числа
(quotient - отношение)
Q
1
2
3
17
Z
N
… - 2, -1, 0, 1,2,3,…
0,25
4,6(11)
В 1585 году нидерландский
математик Симон Стевин
в книге «Десятина» ввёл и
объяснил десятичные
дроби; появилась так
называемая позиционная
система записи числа.

6.

История развития чисел
R – действительные числа
(real – реальный, настоящий)
R
Q
1
2
3
17
Z
… - 2, -1, 0,
0,25
35
π
4,6(11)
е
N
1,2,3,…
Математическое строгое
определение иррационального
(действительного ) числа, не
опирающегося непосредственно на
геометрию, было дано только в 70-х
гг. ХIХ столетия немецким
математиками К. Вейерштрассом,
Р. Дедекиндом и Г. Кантором.

7.

История развития чисел
R
i
35
π
1
2
3
17
Q
Z
… - 2,-1,0, 1,2,3,…
0,25
4,6(11)
е
N
В 1768 г. в своем учебнике
алгебры Леонард Эйлер писал,
что так как квадратный корень
из отрицательного числа не
может быть числом ни
положительным, ни
отрицательным, ни нулем, то он
не может быть причислен к
возможным числам. Значит, это
число нового класса чисел,
причем на числовой прямой ему
уже места нет. Символ i ,
называемый мнимой единицей
(imaginary – мнимый,
воображаемый), был им
предложен в XVIII веке.

8.

История развития чисел
R
i
1
2
3
17
35
π
Q
Z
… - 2,-1,0, 1,2,3,…
0,25
4,6(11)
е
N
Впервые вплотную к
определению комплексных
чисел подошел итальянский
математик и инженер Рафаэль
Бомбелли (1526 – 1572) в своей
книге «Алгебра».

9.

История развития чисел
C – комплексные числа
(complex – составные)
R
С
i
1
2
3
17
35
π
Q
Z
… - 2,-1,0, 1,2,3,…
0,25
4,6(11)
е
N
В 1831 году в работах
немецкого математика Карла
Гаусса они получили название
«комплексных» ( в переводе с
латинского «составные»)

10.

История развития чисел
Долгое время даже математики считали комплексные числа
загадочными и пользовались ими только для математических
манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли
применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть
позже с помощью мнимых чисел научились выражать
решения линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Такие уравнения и
встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной
точки в сопротивляющейся среде.
Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель,
Арган, Гаусс) поняли, что комплексными числами можно
моделировать векторные величины на плоскости.

11.

(Будь рациональным !)
(Будь реальным !)

12.

Определение комплексного числа
Комплексными числами называют выражения вида а + bi ,
где а и b действительные числа, а i – некоторый символ
такой, что i² = -1.
Обозначают: z = а + bi
а – действительная (reale) часть комплексного числа
а = RE(z)
b – мнимая (imaginary )часть комплексного числа
b = IM(z)
i – мнимая единица
z = bi – чисто мнимое число
z = а – действительное число

13.

Для строгого определения
комплексных чисел нужно ввести для
этих чисел понятие равенства и
операции сложения и умножения.
Два комплексных числа называют равными, если равны
их действительные части и равны их мнимые части.
а + bi = с + di
<=> а = с, b = d

14.

Арифметические операции над
комплексными числами
1. z₁ + z₂= (а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i
2. z₁ - z₂= (а + bi) - (с + di) = (а - с) + (b – d)i
3. z₁ · z₂= (а + bi) · (с + di) = (а с - bd) + (bс + аd)i
Доказательство:
z₁ · z₂ = (а + bi) · (с + di) = ас + аdi + bсi + bdi² =
= (а с - bd) + (bс + аd)i

15.

Примеры
Вычислить: а) z₁ · z₂
б) z₁ + z₂ · z3
в) z₁ ( z₂ -z3)
г) z₁ + (z₂ )² +(z3)²
1. Дано: z₁ = 1 – 2i
z₂= 3 + i
z3 = - 7i
2.
i 2 1
i
3
i
i
4n k
i i (i ) i i
4n
k
4 n
k
i4 1
i5 i
i 6 1
i 7 i
i i
67
64 3
i i
3
k

16.

Определение сопряженных комплексных
чисел
Два комплексных числа называются сопряженными,
если они отличаются лишь знаком мнимой части.
обозначают : z
z a bi, z a bi; a a, bi bi
a bi a bi, a bi a bi, a bi a bi

17.

Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = а + bi называется число
√а² + b² и обозначается |z|, т.е. |z|= |а + bi| = √а² + b² .
1.
Свойства взаимно сопряженных комплексных чисел и
модулей
z1 z 2 z1 z 2
z
2. z1 1 , z 0
2
z2
z2
n
3. z z
4. z z
n
5. z z z
6.
z z
9.
z1 z 2 z1 z 2
10.
z1 z1
, z 2 0
z2 z2
11.
z1 z 2 z1 z 2 2 z1 2 z 2
2
z1
z z
1 22 , z 2 0
7. z
z2
2
8. z1 z 2 z1 z 2
2
2
2
2

18.

литература
http://images02.olx.ru/ui/1/28/70/6422870_1.jpg
http://shimrg.rusedu.net/gallery/646/Risunok19.png
http://30nar-sol6.edusite.ru/images/profess
http://external.ak.fbcdn.net/safe_image.php?d=fbf3b968482
926ac6e712cd0b2fc3821&w=180&h=540&url=http%3A%2F%
2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2F3%2F
3a%2FGiuseppe_Peano.jpg (Пеано)
• http://nplit.ru/books/item/f00/s00/z0000062/pic/000021.jpg
(Стевин)
• http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Rhind
_Mathematical_Papyrus.jpg (папирусРайнда)

19.

• http://berkovichzametki.com/2009/Zametki/Nomer10/Karl_Weierstrass.jpg
(Вейерштрасс)
• http://rudimatematicilescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/files/2010/10/De
dekind.jpg (Дедекинд)
• http://zhmud-s.moy.su/_si/0/70913698.jpg (Кантор)
• http://www.childrenpedia.org/2/18.files/image048.jpg
(Эйлер)
• http://newton.net.pl/files/matematyka/Bombelli.jpeg
(Бомбелли)
• http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientificidentity/fullsize/SIL14-G001-10a.jpg (Гаусс)
• http://www.mightywombat.com/toons/numbers.gif