Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
480.50K
Категория: МатематикаМатематика

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

1. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

2. Неопределенный интеграл

Определение 1.
Функция F (x ) называется
первообразной для f (x) в ( a, b) ,
если F (x ) определена в ( a, b) и
F ( x) f ( x)
Пример.
f ( x) sin x F ( x) cos x
( так как ( cos x) sin x )

3. Неопределенный интеграл

Теорема (о разности первообразных).
F ( x) и G( x) первообраз
ные
для f ( x) в (a, b)
F ( x) G( x) const
Доказательство.
Обозначим через ( x) F ( x) G( x) .
Пусть x1 , x2 ( a, b ) .
Функция (x ) удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа:
а) ( x) непрерывна на x1 , x2
б) ( x) F ( x) G ( x)
f ( x) f ( x) 0 в ( x1 , x2 )
( x2 ) ( x1 ) (c)(x2 x1 ) 0
( x2 ) ( x1 ) x1 , x2 (a, b)
( x) const .

4. Неопределенный интеграл

Следствие.
Пусть F (x ) первообразная для
Тогда любая другая первообразная
f (x) в ( a , b. ) .
G( x) F ( x) C
Определение 2.
Неопределенным интегралом от f (x)
называется совокупность всех первообразных
f ( x)dx F ( x) C
Графическая иллюстрация
y
Пример.
y F (x)
sin xdx cos x C
a
b
x

5. Неопределенный интеграл

Таблица основных интегралов.
1.
F ( x) f ( x) F ( x)
-первообразная для f (x)
0dx C
2.
x n 1
x dx
C (n 1)
n 1
3.
dx
ln x C
x
4.
5.
n
e dx e
ax
a dx
C
ln a
x
x
x
C
Таблица производных.
(C ) 0
( xn ) n xn 1
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(ln x)
1
x
(log a x)
1
?
x ln a

6. Неопределенный интеграл

cos xdx sinx C
sin xdx cos x C
(cosx) sin x
dx
tgx C
2
cos x
dx
ctgx C
sin 2 x
(tg x)
6.
7.
8.
9.
10.
x
arcsin C
a
a2 x2
11.
dx
1
x
arctg
C
2
2
a
a
a x
dx
( a const 0 )
1
cos2 x

7. Неопределенный интеграл

12.
Длинный логарифм.
13.
14.
x2 a2
ln x x 2 a 2 C
Высокий логарифм.
dx
(
dx
1
a x
ln
C
2
2
2a a x
a x
dx
1
x a
ln
C )
x 2 a 2 2a x a

8. Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов (правила интегрирования).
f ( x)dx f ( x)
f ( x)dx f ( x)dx
1.
2.
3. Линейность неопределенного интеграла.
f ( x)dx f ( x) C
или
d
или
d f ( x) f ( x) C
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
C f ( x)dx C f ( x)dx
( C const 0 )
(k f (x) k g (x))dx
k f ( x)dx k g ( x)dx
1
1
2
2
( k1 , k2 const 0 )

9. Неопределенный интеграл

Доказательство формулы
( f ( x) g ( x))dx f ( x) g ( x)
1.
2.
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
f ( x)dx g ( x)dx
f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x)
Ч.т.д.

10. Неопределенный интеграл

4. Инвариантность неопределенного интеграла.
Пример.
Рассмотрим
sin x dx cos x C
sin(
sin d cos C
)d (
) cos(
Инвариантность !
) C

11. Неопределенный интеграл

Инвариантность неопределенного интеграла.
Пусть:
a) f (t )dt F (t ) C
b) t g ( x) непрерывно
дифференцируемаяфункция
Тогда
f ( g ( x))d g ( x) F ( g ( x)) C
или
f ( g ( x))g ( x)dx F ( g ( x)) C
Замена переменной:
g ( x) t , g ( x)dx dt
f (t)dt F (t) C
F ( g ( x)) C

12. Неопределенный интеграл

Доказательство.
F ( g ( x)) F (t ) t g ( x) g ( x) f ( g ( x)) g ( x)
Пример.
sin 5 x cos xdx
t sin x dt cos xdx
t6
sin 6 x
t dt C
C
6
6
5

13. Неопределенный интеграл

5. Интегрирование по частям.
u ( x) v ( x) dx u ( x) v( x) v( x) u ( x) dx
или
u d v u v v d u

14. Неопределенный интеграл

Пример.
x sin xdx x d ( cos x)
u
v
x( cos x) ( cos x)dx
x cos x sin x C

15. Неопределенный интеграл

Интегрирование по частям.
u ( x) v ( x) dx u ( x) v( x) v( x) u ( x) dx
Доказательство.
1.
2.
u ( x) v ( x) dx u ( x) v ( x)
u ( x) v( x) v( x) u ( x) dx
?
u ( x) v( x) v( x) u ( x) u ( x) v ( x)
u v u v u v
Ч.т.д.
English     Русский Правила