Интерполяция и экстраполяция
Интерполяция и экстраполяция
Интерполяционные формулы для равноотстоящих точек
Конечные разности
Горизонтальная таблица конечных разностей
Горизонтальная таблица конечных разностей
Первая интерполяционная формула Ньютона Общая формула
Первая интерполяционная формула Ньютона Общая формула
Первая интерполяционная формула Ньютона Частный случай
Первая интерполяционная формула Ньютона. Частные случаи.
Первая интерполяционная формула Ньютона. Частные случаи.
Горизонтальная таблица конечных разностей
Горизонтальная таблица конечных разностей
Вторая интерполяционная формула Ньютона Общая формула
Вторая интерполяционная формула Ньютона Общая формула
Вторая интерполяционная формула Ньютона Частная задача
Горизонтальная таблица конечных разностей
Интерполяционные формулы для не равноотстоящих точек
Формула Лагранжа
Погрешность интерполяционных формул
Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона
Погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона
Погрешность первой и второй интерполяционных формул Ньютона при известном виде функции
Пример
Пример
Погрешность формулы Лагранжа
Выбор узлов интерполирования. Формула Чебышева
575.08K
Категория: МатематикаМатематика

Интерполяция и экстраполяция

1. Интерполяция и экстраполяция

x
y
x0
y0
xi
yi
xn
yn

2.

3.

y
x

4.

5. Интерполяция и экстраполяция

x
y
x0
y0
F ( x 0 ) y0
F ( x 1 ) y1
F ( x i ) yi
xi
yi
F ( x n ) yn
xn
yn

6.

• Задача интерполяции
F ( x) ?
x [ x0 ; xn ] x xi
• Задача экстраполяции
F ( x) ?
x [ x0 ; xn ]

7.

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
• Для равноотстоящих точек
xi 1 xi const
xi 1 xi h
• Для не равноотстоящих точек
xi 1 xi const

8. Интерполяционные формулы для равноотстоящих точек

Fn ( x ) a0 a1 x a2 x
2
an x
n

9. Конечные разности

yi yi 1 yi
yi yi 1 yi
2
yi
n
n 1
yi 1
n 1
yi

10. Горизонтальная таблица конечных разностей

x
y
y
2
y
3
y
4 y
x0
y0
y0
2
y0
3 y0
4 y0
x1
y1
y1
y1
3 y1
4 y1
xn
yn
2

11. Горизонтальная таблица конечных разностей

x
y
y
2 y
3 y
4 y
5 y
0
2
2
10
12
0
0
1
4
12
22
12
0
2
16
34
34
12
3
50
68
46
4
118
114
5
232

12. Первая интерполяционная формула Ньютона Общая формула

q( q 1) 2
q( q 1)( q 2) 3
Pn ( x ) y0 q y0
y0
y0
2!
3!
q( q 1) ( q n 1) n
y0
n!
x x0
q
h
x x0
x x0 h x x1
q 1
1
h
h
h
x x2
q 2
h

13. Первая интерполяционная формула Ньютона Общая формула

(x x )
( x x )( x x ) 2
0 y
0
1 y
P ( x) y
n
0
0
0
h
h 2 2!
( x x )( x x )( x x ) 3
0
1
2 y
0
3
h 3!
( x x )( x x ) ( x x
) n
0
1
n
1
y
0
n
h n!

14. Первая интерполяционная формула Ньютона Частный случай

q( q 1) 2
q( q 1)( q 2) 3
Pn ( x ) y0 q y0
y0
y0
2!
3!
q( q 1) ( q n 1) n
y0
n!
x0 ближайшая узловая точка
y0 значение функции в ближайшей узловой точке
x x0
q
h

15.

x x0
x0 kh x0
q
x x0 kh
k
h
h

16. Первая интерполяционная формула Ньютона. Частные случаи.

n 1
x x0
P1 ( x ) y0 q y0 y0
y0
h
a0 a1 x

17. Первая интерполяционная формула Ньютона. Частные случаи.

n 2
q( q 1) 2
P1 ( x ) y0 q y0
y0
2!
x x0
2 y0 ( x x0 ) ( x x0 )
y0
y 0
(
1)
h
2
h
h
y 0
2 y0
y0
( x x0 )
( x x0 )( x x0 h )
2
h
2h
y 0
2 y0
y0
( x x0 )
( x x0 )( x x1 )
2
h
2h
a0 a1 x a2 x 2

18. Горизонтальная таблица конечных разностей

x
y
y
2 y
3 y
4 y
5 y
0
2
2
10
12
0
0
1
4
12
22
12
0
2
16
34
34
12
3
50
68
46
4
118
114
5
232

19.

x 0.7
y ?
x0 1 y0 4
x x0 0.7 1
h 1 q
0.3
h
1
q( q 1) 2 q( q 1)( q 2) 3
P5 ( x ) y0 q y0
y 0
y 0
2!
3!
q( q 1)( q 2)( q 3) 4
y 0
4!
( 0.3)( 0.3 1)
( 0.3)( 0.3 1)( 0.3 2)
1 0.3 12
22
12
2
6
( 0.3)( 0.3 1)( 0.3 2)( 0.3 3)
0 2.896
24

20. Горизонтальная таблица конечных разностей

x
y
y
2 y
3 y
4 y
5 y
0
2
2
10
12
0
0
1
4
12
22
12
0
2
16
34
34
12
3
50
68
46
4
118
114
5
232

21.

x 4.9
y ?
x0 5
y0 232
x x0 4.9 5
h 1 q
0.1
h
1
P5 ( x ) y0 232
x 10 y ?
x0 5 y0 232
x x0 10 5
h 1 q
5
h
1
P5 ( x ) y0 232

22. Вторая интерполяционная формула Ньютона Общая формула

q( q 1) 2
q( q 1)( q 2) 3
Pn ( x ) yn q yn 1
yn 2
yn 3
2!
3!
q( q 1) ( q n 1) n
y0
n!
x xn
q
h
x xn
x ( xn h ) x xn 1
q 1
1
h
h
h
x xn 2
q 2
h

23. Вторая интерполяционная формула Ньютона Общая формула

( x xn )
( x xn )( x xn 1 ) 2
Pn ( x ) yn
yn 1
yn 2
2
h
h 2!
( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 ) 3
yn 3
3
h 3!
( x xn )( x xn 1 )
n
h n!
( x x1 )
y0
n

24. Вторая интерполяционная формула Ньютона Частная задача

q( q 1) 2
q( q 1)( q 2) 3
Pn ( x ) yn q yn 1
yn 2
yn 3
2!
3!
q( q 1) ( q n 1) n
y0
n!
xn ближайшая узловая точка
yn значение функции в ближайшей узловой точке
x xn
q
h

25. Горизонтальная таблица конечных разностей

x
y
y
2 y
3 y
4 y
5 y
0
2
2
10
12
0
0
1
4
12
22
12
0
2
16
34
34
12
3
50
68
46
4
118
114
5
232

26.

x 4.9
y ?
xn 5 yn 232
x xn 4.9 5
h 1 q
0.1
h
1
q( q 1) 2
q( q 1)( q 2) 3
P5 ( x ) yn q yn 1
y n 2
y n 3
2!
3!
q( q 1)( q 2)( q 3) n
q( q 1)( q 2)( q 3)( q 4) n
y n 4
y n 5
4!
5!
( 0.1)( 0.1 1)
( 0.1)( 0.1 1)( 0.1 2)
232 0.1 114
46
12
2
6
( 0.1)( 0.1 1)( 0.1 2)( 0.1 3)
0
24
( 0.1)( 0.1 1)( 0.1 2)( 0.1 3)( 0.1 4)
0 218.188
120

27. Интерполяционные формулы для не равноотстоящих точек

• Формула Лагранжа
• Формула Ньютона для не равноотстоящих точек

28. Формула Лагранжа

( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn )
Ln ( xi ) yi
( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn )
i 0
n
i
x
y
0
1
2
3
0
1
2
5
2
3
12
147

29.

( x x1 )( x x2 )( x x3 )
L3 ( xi ) y0
( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 )
( x x0 )( x x2 )( x x3 )
y1
( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 )
( x x0 )( x x1 )( x x3 )
y2
( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 )
( x x0 )( x x1 )( x x2 )
y3
( x3 x0 )( x3 x1 )( x1 x2 )

30.

( x 1)( x 2)( x 5)
L3 ( xi ) 2
(0 1)(0 2)(0 5)
( x 0)( x 2)( x 5)
3
(1 0)(1 2)(1 5)
( x 0)( x 1)( x 5)
12
(2 0)(2 1)(2 5)
( x 0)( x 1)( x 2)
147
(5 0)(5 1)(5 2)
x x x 2
3
2

31. Погрешность интерполяционных формул

R n ( x ) f ( x ) Pn ( x )

32. Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона

q( q 1)( q 2) ( q n ) n 1
R n ( x)
y0
( n 1)!

33. Погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона

q( q 1)( q 2) ( q n ) n 1
R n ( x)
y0
(n 1)!

34. Погрешность первой и второй интерполяционных формул Ньютона при известном виде функции

R n ( x) h
n 1
R n ( x) h
n 1
q( q 1)( q 2) ( q n ) ( n 1)
f
( )
(n 1)!
q( q 1)( q 2) ( q n ) ( n 1)
f
( )
(n 1)!

35. Пример

С какой точностью можно вычислить с помощью
интерполяционной формулы ln100.5 для
рассматриваемого интервала [100; 103] с шагом h 1
q( q 1)( q 2)( q 3) (4)
R 3 ( x) h
f ( )
4!
4
f ( x ) ln x
1
1
(2)
f ( x)
f ( x) 2
x
x
2
6
(3)
(4)
f ( x) 3 f ( x) 4
x
x
(1)

36. Пример

0.3(0.3 1)(0.3 2)(0.3 3) 6
9
R 3 ( x) 1
2.41
10
4!
1004
4

37. Погрешность формулы Лагранжа

R n ( x)
max f ( n 1) ( x )
x0 x xn
( n 1)!
( x x0 )( x x1 )
( x xn )

38. Выбор узлов интерполирования. Формула Чебышева

x0 xn xn x0
2i 1
xi
cos
2
2
2n 2
English     Русский Правила