Элементы векторной алгебры. Декартовая система координат

1.

ФИЗИКА
ЛИТЕРАТУРА:
Иродов И.Е. Общая физика
Матвеев А.Н. Курс физики
Джанколи Д. Физика
Савельев И.А. Курс общей физики
Трофимова Т.И. Курс физики
Сивухин Д.В. Общий курс физики

2.

Элементы векторной алгебры
Декартовая система координат
z
x, y, z – координаты ( )A
r – радиус-вектор
A
r
r = x i + y j + z k
i, j, k – координатные орты
|i|=|j|=|k|=1
i j k
y
x
Правая система координат
z
Левая система координат
z
правый
винт
x
y
x
левый
винт
y

3.

Элементы векторной алгебры
Обозначение вектора:
A, B, C
r r r
A, B, C
Определение вектора: вектор – упорядоченный набор чисел.
A (Ax, Ay, Az), Ai (i = x, y, z) – составляющие (компоненты) вектора
Сложение векторов и умножение вектора на число
C A B ,где
Ci Ai B, i i , x , y z
A ( Ax , Ay , Az )
Сложение по правилу
параллелограмма
A+B
A
B
Сложение по правилу
треугольника
B
A
A+B

4.

Элементы векторной алгебры
B
Сложение нескольких векторов
A
С
A+B+С
Скалярное произведение
B
( A, B) A
B
cos A
BA
( A, B)другое
A
B обозначение
A
BA
В декартовой системе координат
( A, B ) Ax Bx Ay By Az Bz

5.

Элементы векторной алгебры
Векторное произведение
С = [A, B]
1)
правый
винт
A
2)
C A
B
sin
B
B
A
В декартовой системе координат
i
[ A, B ] Ax
Bx
j
Ay
By
k
Az
Bz
[ A, B ] ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k

6.

Кинематика
Кинематика материальной точки
Описание движения материальной точки
s – дуговая координата (длина дуги)
z
0
траектория
y
x
1) Координатный способ
x x (t ), y y (t ), z z (t )
2) Векторный способ
r r (t )
3) Траекторный способ
r r ( s )уравнение
траектории
s s (t )дуговая
координата

7.

Кинематика
Скорость и ускорение материальной точки
Скорость
r r (t t ) r (tсмещение
)
r (t )
r
средняя скорость
t
r
vср
r (t t )
v r&
dr
r
lim
( мгновенная) скорость
t
0
dt
t
Ускорение
dv
a v&
dt
d 2r
a &
r& 2
dt

8.

Кинематика
Прямолинейное движение
1) Равномерное движение, v const
0
x(t)
x x (t )
dx
v
dt
dv d 2 x
a
2
dt dt
x
a
dv
dt
dx
v
dt
a 0
x x0 vt
2) Равноускоренное движение,
a const
dv
a
dt
v v0 at
dx
v
dt
at 2
x x0 v0t
2
x0 – начальные координата
v0 – начальная скорость

9.

Кинематика
Движение по криволинейной траектории
s(t)
траектория
0
1)
dr
касательный вектор
ds
r (хорда)
lim
1
s 0 s (дуга)
1
1
2
2
r r ( s )уравнение
траектории
s s (t )дуговая
координата
1

10.

Кинематика
Движение по криволинейной траектории
1
1
s
r
2
1
2
r
O
s
r
1
2 1
2
2)
r
1
s
dτ
n r
главная нормаль, n 1
ds
r – радиус кривизны траектории
n
1
2
1
n2
n1
O
2

11.

Кинематика
Движение по криволинейной траектории
dr dr ds
v
dt ds dt
v (t )
r r ( s(t ))
ds
dt
v P v
ds
dt
dv (t ) d ds d 2 s
ds d ds d 2 s
2 d
a( t )
2
v
dt
dt dt dt
dt ds dt dt 2
ds
d 2s
v2
a (t ) 2 n
dt
r
a | a |полное
a 2 ускорение
an2
d 2 s dv
aтангенциальное
ускорение
2
dt
dt
v2
aнормальное
ускорение
n
r

12.

Кинематика
Движение по окружности
Определения:
d
угловая скорость
dt
d
угловое ускорение
dt
x
1) Равномерное вращение, const
d
dt
d
dt
частота
2
0
0 t
1
Tпериод

13.

Кинематика
Движение по окружности
2) Равноускоренное вращение,
const
d
dt
0 t
d
dt
t 2
0 0t
2
Связь линейный и угловых величин
r
s r
x
ds
d
r
r
dt
dt
d 2s
d 2
a 2 r 2 r
dt
dt
v2
an 2 r
r
v

14.

Кинематика
Движение по окружности
Положение окружности в пространстве и направление вращения
задается вектором угловой скорости .
z
правый
винт
v
v
O
r
z – ось вращения ( плоскости окружности)
– вектор угловой скорости, | | , Pz
v r