Математика в компьютерной графике

1.

1
CG Math
Математика в
компьютерной графике
URL:
http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: [email protected]
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

2. Базовые понятия

2
Базовые понятия
CG Math
• свободные векторы, радиус векторы,
операции с векторами, скалярное и
векторное произведение векторов (vector dot
& cross production)
• базис, координаты, декартова система
координат
• матрицы, операции с матрицами, обращение
матриц
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

3. Преобразования (transformations)

3
Преобразования (transformations)
CG Math
Аффинные
Перспективные
Билинейные
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

4. Аффинные преобразования

4
Аффинные преобразования
CG Math
• Параллельный перенос (translation)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

5. Аффинные преобразования

5
Аффинные преобразования
CG Math
• Масштабирование (scaling)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

6. Аффинные преобразования

6
Аффинные преобразования
CG Math
• Сдвиг (shearing)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

7. Аффинные преобразования

7
Аффинные преобразования
CG Math
• Масштабирование (scaling)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

8. Аффинные преобразования

8
Аффинные преобразования
CG Math
• Поворот относительно начала координат (rotation)
r
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

9. Матричная запись аффинных преобразований

• Перепишем в матричном виде общую
запись аффинных преобразований:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
9
CG Math

10. Однородные координаты (homogeneous)

10
Однородные координаты (homogeneous)
CG Math
• представим координаты на плоскости (2D)
трехкомпонентной вектор -строкой:
• будем полагать w = 1
• перепишем преобразование в общем виде:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

11. Матричный вид аффинных преобразований

~ translation
~ scaling
~ shear
translation
by x
~ rotation
~ shear by y
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
11
CG Math

12. Композиция преобразований

12
Композиция преобразований
CG Math
• подвергнем точку последовательным
преобразованиям системы координат:
• перепишем:
• в силу ассоциативности:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

13. Обратные аффинные преобразования

13
Обратные аффинные преобразования
CG Math
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

14. Преобразование точек, векторов и нормалей

• точка (радиус-вектор) (p):
• вектор (v) и нормаль (n) (только направление):
• преобразования:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
14
CG Math

15. Преобразование нормалей

15
Преобразование нормалей
CG Math
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

16. Нотации записи: столбец или строка

16
Нотации записи: столбец или строка
CG Math
Одно преобразование:
Композиция преобразований:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

17. Пример: привязка систем координат

17
Пример: привязка систем координат
CG Math
• заданы точки соответствия
• найти «матрицу перехода»
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

18. Пример: привязка систем координат

18
Пример: привязка систем координат
CG Math
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

19. Пример: преобразование изображений

19
Пример: преобразование изображений
CG Math
=> Прямое отображение (direct mapping) =>
Поворот и
масштабирование
<= Обратное отображение (inverse mapping) <=
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

20. Пример: warping (1)

20
Пример: warping (1)
CG Math
• Регулярная сетка для
областей соответствия
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

21. Пример: warping (2)

21
Пример: warping (2)
Аффинные
преобразования
CG Math
Перспективные
преобразования
Билинейные
преобразования
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

22. Пример: warping (3)

22
Пример: warping (3)
Аффинные
преобразования
CG Math
Перспективные
преобразования
Билинейные
преобразования
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

23. Пример: morphing

23
Пример: morphing
CG Math
morphing = warping + интерполяция цвета
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

24. Перспективные преобразования

24
Перспективные преобразования
CG Math
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

25. Привязка с перспективным преобразованием (1)

• общая формула:
• прямое отображение:
• полагаем w=1, итоговая формула для координат:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
25
CG Math

26. Привязка с перспективным преобразованием (2)

• получаем матрицу обратного отображения
• определитель присутствует и в числителе и в знаменателе –
вычислять не нужно:
• находим присоединенную матрицу:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
26
CG Math

27. Привязка с перспективным преобразованием (3)

27
CG Math
• Задача привязки: по 4 точкам соответствия определить матрицу
перехода:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

28. Привязка с перспективным преобразованием (4)

• запишем зависимость (выразим координаты x и y):
• выпишем в матричной форме 8 уравнений:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
28
CG Math

29. Привязка с перспективным преобразованием (5)

• для упрощения задачи переход ищем из единичного квадрата:
• получаем:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
29
CG Math

30. Привязка с перспективным преобразованием (6)

• обозначаем:
• и находим решение:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
30
CG Math

31. Аффинные преобразования в пространстве

• Аналогично случаю 2D вводим однородные координаты:
• и преобразования в общем случае:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
31
CG Math

32. Матрицы 3D преобразований (перенос, масштаб)

~ translation
~ scaling
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
32
CG Math

33. Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг осей)

~ rotation
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
33
CG Math

34. Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг оси)

• Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало
координат. Ось задается нормированным радиус вектором.
Вывод через кватернионы (самостоятельно).
~ rotation
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
34
CG Math

35. Пример: построение матрицы камеры (1)

• камера задается: позиция С и векторы направление
«вверх» V, «враво» U и вперед N.
• ищем преобразование в виде «перенос+поворот»:
где
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
35
CG Math

36. Пример: построение матрицы камеры (2)

• после преобразования вектора отобразятся:
т.е.
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
36
CG Math

37. Пример: построение матрицы камеры (3)

• зная
находим
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
37
CG Math

38.

38
CG Math
• Практические задания
– Реализовать warping изображения (срок –
6.11.2011):
• все изображение трансформируется билинейным
преобразованием (один элемент соответствия)
• Изображение разделяется на треугольники – зоны
соответствия. Искажение получается в соответствии с
изменением сетки треугольников.
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group