Лекция 2-3. 10. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 10.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
Просуммируем массу всех элементарных объемов
Вообще, тройным интегралом от функции по объему называется предел интегральной суммы
10.2. Вычисление тройных интегралов. 1) Декартовы координаты.
Установим правило вычисления тройного интеграла
Пример. Вычислить тройной интеграл
2) Цилиндрические координаты.
Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями
3) Сферические координаты.
Пример. Вычислить тройной интеграл где область - верхняя половина шара
434.50K
Категория: МатематикаМатематика

Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. (Лекция 2-3)

1. Лекция 2-3. 10. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 10.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

z
Рассмотрим тело объемом V
переменной плотности
g = g ( x, y , z ) .
y
V
x
Разобьем тело произвольным образом на n частей
элементарными объемами DV1 , DV2 ,..., DVn .
Выберем в каждом из элементарных объемов
произвольную точку M k ( xk , yk , zk ) .
Масса элементарного объема приближенно равна
DM k » g ( xk , yk , zk ) DVk .

2. Просуммируем массу всех элементарных объемов

n
n
k =1
k =1
M = å DM k » å g ( xk , yk , zk ) DVk .
• Выражение в правой части называется
интегральной суммой. Устремим наибольший
диаметр элементарных объемов
к нулю и
n
рассмотрим предел
lim
g ( x , y , z ) DV .
max ÆDVk ®0
å
k =1
k
k
k
k
Если этот предел интегральной суммы существует,
то, очевидно, он равен массе тела и называется
тройным интегралом от функции g = g ( x, y, z ) по
объему V
M=
n
g ( xk , yk , zk ) DVk = òòò g ( x, y , z ) dV .
å
max ÆDVk ®0
lim
k =1
V

3. Вообще, тройным интегралом от функции по объему называется предел интегральной суммы

Вообще, тройным интегралом от функции f ( x, y , z )
по объему V называется предел интегральной
n
суммы
òòò f ( x, y, z ) dV = lim å f ( xk , yk , zk ) DVk .
n®¥
V
k =1
Свойства двойных интегралов переносятся на
тройные интегралы:
1) òòò ( f1 ( x, y, z ) ± ... ± f n ( x, y, z ) ) dV = òòò f1 ( x, y , z ) dV ± ... ± òòò f n ( x, y , z ) dV .
V
2)
V
òòò cf ( x, y, z ) dV = c òòò f ( x, y, z ) dV .
V
3)
V
V
V = V1 UV2 , V1 I V2 = Æ.
Тогда
òòò f ( x, y, z ) dV = òòò f ( x, y, z ) dV + òòò f ( x, y, z ) dV .
V
V1
V2

4.

4) Если (x,y,z) V f1 ( x, y , z ) ³ f 2 ( x, y , z ) ,
то
òòò f1 ( x, y, z ) dV ³ òòò f 2 ( x, y, z ) dV .
V
V
V
, M = fвнаиб
V
5) Если m = fвнаим
mV £ òòò f ( x, y, z ) dV £ MV ,
то
,
V
где
6)
V = òòò dV .
V
òòò f ( x, y, z ) dV = f ( x, h, V ) V , ( x, h, V ) V .
V
f ( x, h, V )
- среднее значение f в области V.

5. 10.2. Вычисление тройных интегралов. 1) Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл I = òòò f ( x, y, z ) dV .
V
Разобьем область интегрирования V на
элементарные объемы плоскостями,
параллельными координатным плоскостям.
Тогда элементарный объем равен dV = dxdydz.
Следовательно
I = òòò f ( x, y, z ) dxdydz.
V

6. Установим правило вычисления тройного интеграла

z = z 2 ( x, y )
z = z1 ( x, y )
b x
z
a
y = y1 ( x )
y
y = y2 ( x )
b
I = òòò f ( x, y, z ) dxdydz = ò dx
V
a
y 2( x)
ò
y 1( x )
z 2 ( x, y )
dy
ò
z 1( x , y )
f ( x, y , z ) dz.

7. Пример. Вычислить тройной интеграл

I = òòò ( x + y + z ) dxdydz
V
по области, ограниченной плоскостями: x = 0, y = 0, z = 0
z
и x + y + z = 1.
z = 1- x - y
1
Построим область интегрирования:
x
1
1
y
y = 1- x
1
I = ò dx
1
0
1- x
1- x - y
1- x
1
1- x
ò dy ò ( x + y + z ) dz = ò dx ò
0
0
0
1
0
1- x - y
æ
z ö
dy ç xz + yz + ÷
2 ø
è
0
2
=
1- x
æ x
æ x
y

y
y
1 ö
= ò dx ò ç - - xy + ÷ dy = ò dx ç - y - x
+ y÷
=
2
2 2ø
2
6 2 ø
è 2
0
0 è
0
0
1
1
æ 1 x x3 ö
æ1
x2 x4 ö
1 1 1 1
= ò ç - + ÷ dx = ç x - + ÷ = - +
= .
3 2 6 ø
4 24 ø0 3 4 24 8
è3

2
2
2
2
3

8. 2) Цилиндрические координаты.

x = r cos j, y = r sin j, z = z , ( 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p, - ¥ < z < +¥ ) .
Замена переменных в тройном интеграле
производится на тех же принципах, что и в
двойном интеграле.
¶x
¶r
¶y
J=
¶r
¶z
¶r
¶x
¶j
¶y
¶j
¶z
¶j
¶x
¶z
¶y cos j - r sin j 0
= sin j r cos j 0 = r cos 2 j + r sin 2 j = r.
¶z
0
0
1
¶z
¶z
Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет
вид
òòò f ( x, y, z ) dxdydz = òòò f ( r cos j, r sin j, z ) rd jdrdz.
V
V*

9. Пример. Вычислить тройной интеграл по области, ограниченной поверхностями

Пример. Вычислить тройной интеграл
òòò zdv
по области,
V
ì z = x2 + y2 ,
ограниченной поверхностями V : í x 2 + y 2 + z 2 = 6.
î
z
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r cos j, y = r sin j, z = z , J = r.
x
Уравнение параболоида примет вид:
z = x 2 + y 2 = r 2 cos 2 j + r 2 sin 2 j = r 2 ® z = r 2 .
y
Уравнение сферы примет вид:
r2 + z2 = 6 ® z = 6 - r2 .
Линией пересечения поверхностей является окружность
2
4
r
+
r
=6 .
радиуса r = 2
Переменные изменяются в следующих пределах:
(
0 £ j £ 2p,
)
0 £ r £ 2,
r2 £ z £ 6 - r2 .
Интеграл запишется в виде:
I = òòò zdv =
V
2p
ò
0
2
d j ò rdr
0
6- r 2
ò
r2
2p
zdz =
2
ò dj ò
0
0
6- r 2
z2
rdr
2 r2
2
(
)
= p ò 6 - r 2 - r 4 rdr =
0
11
p.
3

10. 3) Сферические координаты.

3) Сферические
x = r sin q cos j, координаты.
y = r sin q sin j, z = r cos q,
( 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p, 0 £ q £ p ) .
z
z
q
M
r
j
y
y
x

x
Тройной интеграл в
сферических
координатах примет вид
òòò
V
Якобиан преобразования
вычисляется по формуле
¶x ¶x ¶x
¶r ¶j ¶q
¶y ¶y ¶y
J=
= r 2 sin q.
¶r ¶j ¶q
¶z ¶z ¶z
¶r ¶j ¶q
f ( x, y, z ) dxdydz = òòò f ( r sin q cos j, r sin q sin j, r cos q ) r 2 sin qd jdrd q.
V*

11. Пример. Вычислить тройной интеграл где область - верхняя половина шара

Пример. Вычислить тройной интеграл òòò ( x
2
)
+ y 2 dv,
V
2
2
2
2
где область V - верхняя половина шара x + y + z £ R .
z
R
Перейдем к сферическим
координатам:
x
R
y
x = r sin q cos j, y = r sin q sin j,
z = r cos q, J = r 2 sin q.
Для данной области интегрирования, переменные
p
изменяются в пределах: 0 £ r £ R, 0 £ j £ 2p, 0 £ q £ .
2
Интеграл запишется в виде:
(
)
I = òòò x 2 + y 2 dv =
5 p/2
R
= 2p
5
ò(
0
V
)
2p
ò
0
R
p/2
0
0
d j ò r 4 dr
5
ò
sin 3 qd q =
p/ 2
R æ1 3
ö
cos q - 1 d ( cos q ) = 2p ç cos q - cos q ÷
5 è3
ø0
2
4
= pR 5 .
15
English     Русский Правила