Статистическая обработка информации: случайность и вероятность

1.

Российский университет дружбы народов
Институт гостиничного бизнеса и туризма
В.И. Дихтяр
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИИ
Раздел 1.
Тема 1-1 s.
Система научных знаний и информационная
реальность общества
Статистическая обработка информации: случайность и
вероятность;
случайные
величины;
нормальное
распределение.
Москва
2016

2. G. Zaltman “How Customers Think”

Представляя нам видимые и
невидимые миры, ни искусство, ни
наука не стоят на месте.
Не имеет права «застыть» и
маркетинг, ибо он является
одновременно и искусством, и
наукой.
2

3. Теория вероятностей

Неопределенности, случайные Δ, ω и
явления (Ẽ , Ḿ, гостеприимство..)
[random phenomenon]
Азартные игры природа сл. ω
Ž (простые ω) вероятности более
сложных их проявлений
3

4. Терминология

ω детерминированное: причина → следствие
(единственное, определенное)
случайное ω : исход непредсказуем (зависит от
случайных факторов)
опыт действие: результат неизвестен
эксперимент ≡ ∑ ≡ один или несколько опытов
элементарное событие ϖ – возможный
результат эксперимента, исход
Ω = {ϖ} – пространство элементарных событий
событие А = {ϖ 1, …, ϖ n} Ω
4

5. (Случайное) ωА ≠ детерминированное

Особенности модели:
Неопределенность исхода единичного ∑:
А наступает или не наступает
Возможность неограниченного повторения в
одинаковых условиях
Стабилизация относительной частоты ω
5

6. Примеры

Бросание монеты и игрального кубика
Извлечение карты из колоды
Извлечение шаров из урны
Розыгрыш лотереи
Выбор клиента при опросе
Будущая цена акции
Банкротство банка
6

7. Действия над {ω}

А B - В следует из А:
В происходит всегда, когда происходит А
A + B сумма: А В (или)
AB произведение : А В (и)
7

8. Определения

А и В несовместны: не могут произойти
одновременно
Ā противоположно А: не произошло А
А достоверно: происходит всегда
А невозможно: не наступает никогда
Полный набор событий: несовместны и их
сумма есть достоверное ω
8

9. Классическое определение вероятности

Вероятность p(А) – числовая характеристика А
Равновозможные ω (одинаковые шансы)
симметрия
N = число ϖ
(никакие два не могут наступить одновременно)
Исход благоприятен для A ≡ A следует из
исхода
m(A) – число благоприятных исходов для А
9

10. Определение вероятности

p(A) = m(A) / N
1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 ( m(A) < N )
2. А и В – несовместны
p(A+B) = p(A)+p(B)
3. {A1, A2, ....., Ak } образуют полный набор
p(A1) + p (A2) + ..... + p(Ak) = 1
10

11. Независимость

А не зависит от В, если p(А|В) = p(А)
А и В независимы p(АВ) = p(А)p(В)
А1, А2, ..., Аn независимы в
совокупности
p(А1А2… Аn) = p(А1)p(А2)…p(Аn)
11

12. Математическое ожидание MX

произвольной конечной случайной величины X
m = X1p1 + X2p2 + … + Xn pn=<x,p>
конечной случайной величины
xi
X , i 1,2,..., m
pi
характеризует среднее значение
MX x1 p1 x2 p2 ... xm pm
MIq_307
m
x
i 1
i
pi
12

13. Свойства:

1. Мс = с Мс = с • 1 = с
2. X 0 МX ≥ 0
c
c
1
3. М(сX) = сМX
4.
M X Y ( xi y j ) pij M ( X ) M (Y )
i, j
5. M c1 X1 c2 X 2 ... cn X n c1MX 1 c2 MX 2 ... cn MX n
MIq_307
13

14. Свойство 5

M(X – MX) = MX – M(MX) = MX - MX = 0
Центрированная Y = X – MX, при MY = 0
Свойство 6
M X Y xi y j pij
i, j
Для независимых случайных величин pij = pi qj
m
n
M X Y xi y j pi q j xi pi y j q j MX MY
i, j
i 1
j 1
MIq_307
14

15. Дисперсия

DX M ( X MX ) .
2
2
(
X
MX
)
Случайная величина
распределена по закону
( xi MX ) 2
,
p
i
n
DX ( xi MX ) pi X i MX P
2
2
0
i 1
MIq_307
15

16. Среднеквадратичное отклонение σ2(x)  σx2

Среднеквадратичное отклонение σ2(x) σx2
стандартное отклонение X
x DX
Свойства:
DX 0
D(cX) = c2DX
D(X + c) = DX; D(aX +b) = a2DX
D(X + Y) = DX + DY (X и Y независимы)
DX = MX2 – (MX)2
MIq_307
16

17. Стандартизация X

не меняет дисперсии
D X M ( X MX 0) 2 DX .
Случайная величина
X
X
X MX
DX
DX
называется стандартизованной (по отношению к X )
или просто стандартизацией X
1
MX
M ( X MX ) 0,
DX
1
1
DX
D( X MX )
DX 1.
DX
DX
MIq_307
17

18. Свойства

1.
rX,Y = M(X*Y*)
2.
rX,Y = rX*,Y* т.к. MX* = MY* = 0, DX* = DY* = 1
rX ,Y
M[(X MX )(Y MY )]
DX DY
3.
rX,Y ≤ 1
4.
X и Y независимы rX Y= 0
5.
M(X Y ) rX,Y .
коэффициент корреляции равен 1 ≡ случайные
величины линейно зависимы rX,Y = 1 Y = aX +b
MIq_307
18

19. Используемые символы

Символ
Значение
Δ
изменение
ω
событие
Ẽ
экономика
Ḿ
менеджмент, управление
Ž
знания
Ω
предметная область
U
урна
19