Оптика.
Преобразование координат лучей оптической системой
Матрица преобразования лучей
Геометрический смысл элементов матрицы преобразования
Геометрический смысл элементов матрицы преобразования
Геометрический смысл элементов матрицы преобразования
Обратная матрица преобразования
Виды матриц преобразования
Виды матриц преобразования
Матрица одной преломляющей поверхности
Матрица зеркальной (отражающей) поверхности
Матрицы оптической системы, состоящей из нескольких компонентов
Пакет из плоскопараллельных слоев
Оптическая система с нулевыми расстояниями между компонентами
Двухкомпонентная оптическая система
Афокальные (телескопические) системы
Матрица тонкой линзы
Расчет параксиальных (нулевых) лучей через оптическую систему
300.77K
Категория: ФизикаФизика

Оптика. Матричная теория Гауссовой оптики. (Лекция 6)

1. Оптика.

Лекция 6.
Матричная теория Гауссовой оптики

2. Преобразование координат лучей оптической системой

Основное действие оптической системы заключается в изменении хода лучей, которое
описывается преобразованиями двух параметров – линейной и угловой координат
луча. Эти преобразования наиболее удобно описывать при помощи
аппарата матричной оптики. Матрица преобразованияполностью описывает
распространение лучей через оптическую систему.
Параметры луча в пространстве
предметов и изображений могут быть
заданы только в том случае, если
выбраны опорные плоскости. Опорная
плоскость (ОП) – это некоторая
произвольно выбранная плоскость,
перпендикулярная оптической оси.
Опорные плоскости в пространстве
предметов и изображений выбираются
из соображений удобства и могут быть
либо сопряженными, либо нет.
Вместо угла α часто используют направляющий косинус оптического лучевого вектора:
Y n cos y n sin n

3.

y
Y
(ОС)
y
Y
y a0 a1 y a2Y a3 y 2 a4 yY a5Y 2 ...
Y b0 b1 y b2Y b3 y 2 b4 yY b5Y 2 ...
Если оптическая система является центрированной, то a0=b0=0. Все члены ряда,
начиная с a3 и b3, можно отбросить, так как они стремятся к нулю на порядок
быстрее, чем предыдущие. Таким образом, для идеальной оптической системы:
y Ay BY
Y Cy DY

4. Матрица преобразования лучей

y A B y
Y C D Y
Все свойства идеальной оптической системы полностью описываются матрицей
преобразования лучей , называемой также гауссовой матрицей или ABCD-матрицей
A B
G
C D

5. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования

Рассмотрим луч с координатами , y=1, Y=0
y Ay BY A
Y Cy DY C
y
f
y
S F
C учетом того, что , y=1 можно получить
S
y S F F
f
Y n
S F
f
n
C
f
A
n
f

6. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования

Рассмотрим луч с координатами , Y=1 (α=-1/n), Y’=0 (α’=0)
y Ay BY Ay B
Y Cy DY Cy D 0
f
y f
n
S
y S F F
n
C учетом того, что , y=1 можно получить
S
y S F F
f
n
f
n S F n S F S F
D Cy
f
n
f
n
f
f S S S S
f S S f f
B y Ay F F F F F F
n f n
n f
n
n f
Y n

7. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования

S F
f
G
n
f
S F S F f f
n f
SF
f
Элемент матрицы С зависит только от
параметров оптической системы, а
элементы A,B, D и зависят еще и от
выбора опорных плоскостей.
Определитель матрицы преобразования
det G AD BC 1

8. Обратная матрица преобразования

G -1G GG 1 I
1 0 - единичная матрица
I
0
1
Обратная матрица преобразования описывает обратное преобразование (из выходных
координат во входные)
b G 1 b
D B
1
G
C
A
Условие сопряжения опорных плоскостей
В общем случае все элементы матрицы преобразования не равны нулю, но для
случая сопряженных опорных плоскостей элемент B=0. Для сопряженных опорных
плоскостей элемент A имеет значение линейного увеличения, а элемент D - величина
обратная элементу A.

9. Виды матриц преобразования

Матрица преломления
Существуют два основных вида матриц
преобразования, описывающих два простых
преобразования – перенос луча в свободном
пространстве и преломление луча на
преломляющей поверхности или в оптической
системе.
Для вывода матрицы преломления
совместим опорные плоскости с главными
плоскостями
Поскольку опорные плоскости сопряжены,
то B=0 и y’=Ay. Тогда A=1, а поскольку
определитель матрицы всегда равен
единице , следовательно D=1.
0
1
R
1
- матрица преломления

10. Виды матриц преобразования

Матрица переноса
При переносе луча изменяется только линейная
координата.
Y
y y d y d
n
Угловая координата не изменяется
Y Y
d
1
T
n - матрица переноса
0
1
d
- приведенное расстояние между опорными плоскостями
n

11. Матрица одной преломляющей поверхности

Из
треугольников OKC и CKO’
можно вывести
Домножим оба выражения
на n и n’ соответственно
n n n
n n n
Из закона преломления следует, что
n n
n n n n
y
Y Y n n
r
y
r
Y Y y n n
0
1
R
n n 1

12. Матрица зеркальной (отражающей) поверхности

n n
0
1
R
2 n 1
Для плоского зеркала
1 0
R
0 1
Следовательно, плоское зеркало не меняет хода луча (геометрический косинус
изменяется, а оптический преломленный (отраженный) косинус остается прежним).

13. Матрицы оптической системы, состоящей из нескольких компонентов

Любую оптическую систему можно представить как совокупность нескольких
компонентов, разделенных промежутками. Пусть дана некоторая произвольная
система, в которой для каждого компонента известно положение главных
плоскостей и оптическая сила, а также известны расстояния между компонентами
и показатели преломления
G T3 R3T2 R2T1T0 Tn Rn ...T1R1T0
1
Rn
1
0
, Tn
1
dn
nn
1

14. Пакет из плоскопараллельных слоев

d 2 d1 d1 d 2
1
1
1
G T2T1 n2 n1 n1 n2
0 1 0 1 0
1
dn
d1 d 2
1 t
t t1 t2 ... tn ...
T
n1 n2
nn
0 1

15. Оптическая система с нулевыми расстояниями между компонентами

0 1
0 1
1
G R2 R1
2 1 1 1 1 2
0
1
то есть оптические силы таких компонент складываются
1 2 ... n

16. Двухкомпонентная оптическая система

G R2 DR1
1 2 1 2
d
n
Рассмотрим частные случаи двухкомпонентной системы.
Если d=0, тогда Ф=Ф1+Ф2.
Если t=d/n=1/Ф1, это значит, что второй компонент (его главная плоскость) находится
в заднем фокусе первого компонента. Тогда Ф=Ф1, то есть второй компонент может
иметь какую угодно оптическую силу.
Если t=d/n=1/Ф1, то первый компонент находится в переднем фокусе второго
компонента, тогда Ф=Ф2.
d 1 2 1 1
Если t
n 1 2 1 2
то
0

17. Афокальные (телескопические) системы

Афокальные или телескопические системы – это системы из двух или более
компонентов, оптическая сила которых равна нулю. Такие системы предназначены для
наблюдения удаленных объектов.
У афокальных систем оптическая сила равна нулю, то есть C=-Ф=0, следовательно,
определитель матрицы detG=AD-BC. Отсюда D=A-1. Тогда матрица будет выглядеть
следующим образом:
A B
G
1
0 A
Если опорные плоскости сопряжены, то B=0 , и следовательно:
A 0
G
1
0 A
y Ay BY Ay
Y Cy DY A 1Y
Для афокальной системы элемент матрицы равен линейному (поперечному)
увеличению, а его обратная величина имеет смысл углового увеличения:

18.

В телескопических системах линейное и угловое увеличение не зависят от положения
сопряженных опорных плоскостей и, следовательно, не зависят от положения
предмета и изображения:
y
const A
y
Y
const A 1
Y
t
Двухкомпонентная оптическая система телескопическая,
если задний фокус первого компонента совпадает
с передним фокусом второго
d 1 2 1 1
n 1 2 1 2
Линейное увеличение такой системы:
y f 2
y f1

19. Матрица тонкой линзы

1
G R2T1 R1
2 n 1
0 1
1
0
1
G R2T1R1
1 2 n 1
d
1
n
n 1
1 1
0
1
0
1

20. Расчет параксиальных (нулевых) лучей через оптическую систему

Нулевые лучи – это лучи, которые преломляются по законам параксиальной оптики, но
имеют произвольно большие координаты.
Расчет нулевых лучей через оптическую систему состоит из операций переноса луча
между компонентами и преломления луча на компонентах, которые можно описывать
либо в матричной форме, либо в виде рекуррентных соотношений:
d
y y Y
n
Y Y y
Вычисления выполняются столько раз, сколько компонентов имеется в оптической
системе. Однако, для полного расчета лучей через оптическую систему вначале
нужно определить координаты лучей в пространстве предметов, а после завершения
расчетов определить координаты лучей в пространстве изображений. Таким
образом, расчет нулевых (параксиальных) лучей включает в себя три этапа:
определение входных координат луча,
вычисление хода луча (последовательное определение его координат на всех
компонентах),
определение выходных координат луча.
English     Русский Правила