Решение тригонометрических уравнений

1. Решение тригонометрических уравнений

2.

3.

1
1) sin
6
2
соs
tg
6
ctg
3
2
3
3
6
2
2) sin
4 2
6
соs
3
tg
4
4
2
2
1
ctg
4
1
3
3) sin
2
3
1
соs
3 2
tg
3
3
3
ctg
3
3

4.

sin cos 1
2
2
cos 1 sin
2
sin
tg
cos
sin 1 cos
2
cos
ctg
sin
tg ctg 1

5.

Что называется arcsin a?
Что называется arccos a?

6.

Чему равен arсcos (-a)?
Чему равен arcsin (-a)?

7.

8. Найди ошибку.

1
2
arcsin 45
2
2
1 2
arccos
33
2
0
?
3
3
arcsin 3 arcsin 1 3 3
4
4
4
arctg 1 arctg
4 4
5
5
arcctg 3
66

9.

Назовите формулу нахождения корней
уравнения вида sin x = a?

10.

Назовите формулу нахождения
корней уравнения вида cos x = a

11. Установите соответствие:

1
sin x = 0
2
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
cos x = 1
5
tg x = 1
6
sin x = - 1
7
cos x = 0
2
2 k , k Z
2 k , k Z
k , k Z
k , k Z
2
2 k , k Z
k , k Z
4
2 k , k Z

12. Установите соответствие:

1
sin x = 0
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
5
6
7
cos x = 1
tg x = 1
sin x = - 1
cos x = 0
2
2 k , k Z
k , k Z
2 k , k Z
2
2
k , k Z
2 k , k Z
2 k , k Z
4
k , k Z

13.

1
1. sin x
2
2
2. cos x
2
3
3. tg x
3
4. ctg x 3
5. sin x 1,5
6. cos x 2
7. tg x 4

14.

Слово «тригонометрия» впервые встречается
в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога
и математика Питискуса. Происхождение
этого слова греческое τρίγωνον – треугольник,
μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия
– наука об измерении треугольников.
Тригонометрия выросла из человеческой
практики, в процессе решения конкретных
практических задач в областях астрономии,
мореплавания и в составлении географических
карт.

15.

16.

17.

18.

Следующий шаг в развитии
тригонометрии был сделан индийцами
в период с V по XII в.
В отличие от греков
Наряду с синусом
индийцы ввели в тригонометрию
индийцы
стали
косинус, точнее
говоря, стали употреблять в своихи
рассматривать
вычислениях употреблять
линию косинуса. Им были известны в
2 +cos2 =r2,
также соотношения
cos =sin(90 - ) и sin
вычислениях
уже
не
а также формулы
для синуса суммы
и разности ММ
целую
хорду
двух углов. соответствующего
центрального угла, а
только ее половину МР,
т. е. синуса - половины

19.

Сам термин косинус появился
значительно позднее в работах
европейских ученых впервые в конце XVI
в.из так называемого «синуса
дополнения», т.е. синуса угла,
дополняющего данный угол до 90 . «Синус
дополнения» или ( по латыни) sinus
complementi стали сокращенно
записывать как sinus co или co-sinus.

20.

Тригонометрия отделяется от
астрономии
и
становится
самостоятельной наукой(Х III в.)
В трудах среднеазиатских ученых
тригонометрия превратилась из
науки,
обслуживающей
астрономию,
в
особую
математическую
дисциплину,
представляющую
самостоятельный интерес.
Это отделение обычно связывают
с
именем
азербайджанского
математика
Насирэддина
Туси
(1201-1274).

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

Его обширные таблицы синусов
Швейцарский
математик
через 10 с точностью до 7-ой цифры
Иоганни Бернулли
его изложенный
(1642-1727)
тригонометрический труд
«Пять
книг о треугольниках
всех
уже
применял
символы
Обратных
тригонометрических
видов»
имели
большое значение функци
для
дальнейшего развития тригонометрии
в XVI – XVII вв.

28.

29.

30. Франсуа Виет

Франсуа Виет дополнил
и систематизировал
различные случаи
решения плоских и
сферических
треугольников, открыл
формулы для
тригонометрических
функций от кратных
углов.

31.

32.

Окончательный вид
тригонометрия приобрела
в XVIII веке в трудах
Л. Эйлера.
Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)
Исключил
из косинус
своих иформул
трактует синус,
т.д. не как
тригонометрические
линии,
обязательно
учение
R –Разрабатывает
целый синус,
принимая
связанные
с окружностью,
а как
о тригонометрических
функциях
R
= 1, и упростил
таким
тригонометрические функции, которые он
любогокакаргумента.
образом
записи
и сторон
рассматривал
отношения
прямоугольного
треугольника, как числовые
вычисления.
величины.

33.

34.

3 cos 2x 5 cos x 1
3(cos x sin x) 5 cos x 1
2
2
3(cos x 1 cos x) 5 cos x 1 0
2
6 cos x 5 cos x 1 0
пусть cosx t
2
6t 5t 4 0
2
4
cos x
3
2
1
cos x
2
2
ответ :
2 n, n Z
3

35.

cos 3x cos 5x sin 4x
3x 5 x
3x 5 x
2 sin
sin
sin 4 x
2
2
2 sin 4 x sin( x) sin 4 x
2 sin 4x sin x sin 4x 0
sin 4 x(2 sin x 1) 0
sin 4x 0
4x n
x
n
4
,n Z
2 sin x 1
1
sin x
2
x ( 1) n, n Z
6
n

36. Однородные тригонометрические уравнения

37.

2 sin x cos x 0 : cos x
2 tg x 1 0
1
tg x
2
1
x arctg n, n Z
2

38.

3 sin x sin x cos x 4 cos x 0 :
2
2
2
cos x
3tg x tgx 4 0
2
пусть tg x t 3t t 4 0
4
tg x 1
tg x
3
4
x arctg1 n x arctg ( ) n
3
2
4
x n, n Z x arctg n, n Z
3
4

39.

Определите вид уравнения и укажите
способ его решения:
а) sin x = 2 cos x;
б) sin x + cos x = 0;
в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0;
г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0;
д) sin 3x – cos 3x = 0;
е) sin x cos x + cos²x = 0