Частотные методы улучшения изображений. Фурье-анализ

1.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
1
F (u )
2
f ( x)
f ( x)e i 2 ux dx
F (u )ei 2 ux du
1
F (u , v)
2
— обратное фурье-преобразование
функции f(x)
f ( x, y )e i 2 ux vy dxdy
f ( x, y )
— прямое фурье-преобразование
функции f(x)
F (u , v)ei 2 ux vy dudv
— прямое фурьепреобразование
функции f(x,y)
— обратное фурьепреобразование
функции f(x,y)
1

2.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
1
F (u , v)
MN
M 1 N 1
f ( x, y )e
ux vy
i 2
M N
x 0 y 0
M 1 N 1
f ( x, y ) F (u , v)e
x 0 y 0
ux vy
i 2
M N
— дискретное прямое
фурье-преобразование
функции f(x,y)
— дискретное обратное
фурье-преобразование
функции f(x,y)
Частотная область – область значений F(u,v)
Частотная компонента – каждый из элементов F(u,v)
2

3.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
3

4.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
F ( f ( x, y ))
F
— дискретное фурье-преобразование функции f(x,y)
x y
f
(
x
,
y
)(
1)
F (u M / 2, v N / 2)
1
F (0, 0)
MN
M 1 N 1
f ( x, y )
x 0 y 0
— постоянная составляющая
спектра
F (u, v) F *( u, v)
F (u , v) F ( u , v)
— спектр фурье-преобразования
симметричен
4

5.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
5

6.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ВВЕДЕНИЕ В ФУРЬЕ-АНАЛИЗ
6

7.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
7

8.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Примеры базисных функций низкой частоты БПФ
8

9.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Примеры базисных функций высокой частоты БПФ
9

10.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Алгоритм фильтрации в частотной области
1. Исходное изображение домножается на
( 1) x y .
2. Вычисляется прямое ДПФ F(u,v).
3. F(u,v) домножается на функцию фильтра H(u,v).
4. Вычисляется обратное ДПФ.
5. Выделяется вещественная часть.
6. Результат домножается на
gg ( x, y ) F
1
( 1) x y.
H (u, v)F f ( x, y)
10

11.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Фильтр-пробка
0, при (u, v) ( M / 2, N / 2)
gH (u , v)
1, в другом случае
11

12.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Низкочастотный фильтр
12

13.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Высокочастотный фильтр
13

14.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Идеальные фильтры низких частот
0, при D(u , v) D0
gH (u , v)
1, при D(u , v) D0
14

15.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Идеальные фильтры низких частот
gP(u , v) F (u , v)
M
2
— энергия фурье-образа в точке (u,v)
N
gPT P(u , v)
— полная энергия фурье-образа
u 1 v 1
g P(u , v) / PT
u
v
— доля энергии, попадающей внутрь
круга радиусом D0
15

16.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Идеальные фильтры низких частот
16

17.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Идеальные фильтры низких частот
17

18.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Идеальные фильтры низких частот
18

19.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Гауссовы фильтры низких частот
gH (u, v) e
D 2 ( u , v )/2 D02
19

20.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Гауссовы фильтры низких частот
20

21.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Гауссовы фильтры низких частот
21

22.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Фильтры низких частот Баттерворта
gH (u , v)
1
1 D(u, v) / D0
2n
22

23.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Фильтры низких частот Баттерворта
23

24.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Фильтры низких частот Баттерворта
24

25.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Фильтры низких частот Баттерворта
25

26.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Пример использования сглаживающего гауссовского фильтра
в задачах распознавания текста
26

27.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
СЛАЖИВАЮЩИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Пример использования сглаживающего гауссовского фильтра
в задачах допечатной подготовки
27

28.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Идеальные фильтры высоких частот
1, при D(u , v) D0
gH (u , v)
0, при D(u , v) D0
28

29.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Идеальные фильтры высоких частот
30

30.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Гауссовы фильтры низких частот
gH (u, v) 1 e
D 2 ( u , v )/2 D02
31

31.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Гауссовы фильтры низких частот
32

32.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Гауссовы фильтры низких частот
33

33.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Фильтры высоких частот Баттерворта
gH (u , v)
1
1 D0 / D(u, v)
2n
34

34.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Фильтры высоких частот Баттерворта
35

35.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Лапласиан в частотной области
d n f ( x)
n
F
(
iu
)
F (u )
n
dx
2 f ( x, y ) 2 f ( x, y )
2
2
F
(
iu
)
F
(
u
,
v
)
(
iv
)
F (u, v)
2
2
y
x
u 2 v 2 F (u , v)
2
2
H (u , v) u M / 2 v N / 2
36

36.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Лапласиан в частотной области
37

37.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Лапласиан в частотной области
38

38.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
gf hp ( x, y ) f ( x, y ) f lp ( x, y )
gf hb ( x, y ) Af ( x, y ) f lp ( x, y ) — высокочастотная фильтрация с
подъемом частотной
характеристики
gf hb ( x, y ) A 1 f ( x, y ) f ( x, y ) f lp ( x, y )
A 1 f ( x, y ) f hp ( x, y )
gH hp (u , v) 1 H lp (u, v)
gH hb (u , v) ( A 1) H hp (u, v)
— передаточная функция
высокочастотного фильтра
с подъемом частотной
характеристики
39

39.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
Исходное
изображение
Нерезкое маскирование
(A=2)
Нерезкое маскирование
(A=10)
40

40.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ ПОВЫШЕНИЯ РЕЗКОСТИ
gH hfe (u , v) a bH hp (u , v)
—фильтрация с усилением высоких
частот
41

41.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
B ( s, t )
N
M
i N j M
B ( s, t )
N
M
i N j M
f (i, j ) f (i s, j t )
— автоковариационная
(autocorrelation) функция
изображения f(x,y)
1
f (i, j ) f (i s, j t )
NM
N
M
f (i, j )
i 1 j 1
— автокорреляционная функция изображения f(x,y)
42

42.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Изображение
Автоковариационная
функция
Автокорреляционная
функция
43

43.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
B12 ( s, t )
B12 ( s, t )
N1 N 2 M1 M 2
f1 (i, j ) f 2 (i s, j t )
N1 N 2 M1 M 2
1 N1 M1
f1 (i, j )
f1 (i, j )
N1M 1 i 1 j 1
i 1
j 1
i 1
j 1
1
f 2 (i s, j t )
N2M 2
N2 M 2
i 1 j 1
—взаимная
ковариационная
(correlation) функция
изображений f1(x,y) и
f2(x,y)
f 2 (i, j )
— взаимная корреляционная функция изображений f1(x,y) и
f2(x,y)
44

44.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Найти на Хароне заданный кратер
45

45.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
46

46.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
47

47.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
48

48.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
49

49.

Лекция 5. Частотные методы улучшения изображений
КОРРЕЛЯЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
50