Тема: Разложение дроби на простейшие.
Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило разложения рациональных дробей на простейшие
Пример
Пример
Пример
589.50K
Категория: МатематикаМатематика

Разложение дроби на простейшие

1. Тема: Разложение дроби на простейшие.

Студенты ПЭ13-10
Решетников П.А, Малышев А.В.

2. Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
Pm ( x )
f (x)
Qn ( x )
Рациональная дробь называется правильной,многочлен
если степень
степени m
числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в
многочлен степени n
противном случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления
числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P( x )
R( x )
L( x )
Q( x )
Q( x )

3. Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:
V
A
x a
A
x a
k
(k 2; k N )
Mx N
2
x px q
x
Mx N
2
px q
( p 2 4q 0)
k
( p 2 4q 0;
k 2; k N )
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V типов.

4. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

P( x )
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x )
знаменатель которой разложен на множители:
,
Q( x ) ( x x1 ) ( x x2 )k ( x 2 p1x q1 )
( x 2 p2 x q2 )s
можно представить, притом единственным образом в виде суммы
простейших дробей:
A
B1
B2
Bk
P( x )
2
k
x x2 ( x x2 )
( x x2 )
Q( x ) x x1
Cx D
M1x N1
M 2 x N2
2
2
2
2
x p1x q1 x p2 x q2 ( x p2 x q2 )
M s x Ns
2
s
( x p2 x q2 )

5. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
A
x2 4
B3
B1
B2
3
2
( x 2)( x 3)
x 2
x 3 ( x 3)
( x 3)3
Cx D
A1 A2
x3 3
2 2
2
2
x ( x 1)
x 1
x
x
M1x N1
M 2 x N2
A
7x 2 8x 9
2
2
2
2
x 4 x x 1 ( x x 1)2
( x 4)( x x 1)
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и
метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.

6. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:
A 1 Bx3 xC 2
2x 3 x 3
2 2
2
( x 1)( x 2x 5) x x1 1 x x 2 x2 x5 5
2
A( x 2 2x 5) (Bx C )( x 1)
2
( x 1)( x 2Приведем
x 5) простейшие
Ax 2 2Ax
2
x
x1
0
x
дроби
5 A Bxк2общему
Cx знаменателю
Bx C
2x 2 3 x 3
Приравняем числители
A 1
получившейся и исходной
дробей
A B 2
2 A C B 3 B 3
коэффициенты
C 2
5 A C Приравняем
3
при одинаковых степенях х

7. Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
A
d ( x a)
dx
A
A ln x a C
x a
x a
A
k
dx
A
x
a
d ( x a)
k
x a
A x a
k 1
k 1
Mx N
x 2 px q dx
C

8. Общее правило разложения рациональных дробей на простейшие

Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на
множители, представить ее в виде суммы простейших дробей
с неопределенными коэффициентами
Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения
коэффициентов или методом частных значений переменной.

9. Пример

Приведем дробь к
x 5 2x 3 4 x 4
dx
правильному виду.
3
2
x 2x x
x 5 2x 3 4 x 4 x 3 2 x 2 x
2
5
4
3
2x 5
x
x 2x x
2x 4 x 3 4 x 4
4
3
2
2x 4 x 2x
3
2
5 x 2x 4 x 4
3
2
5 x 10 x 5 x
8x 2 x 4
2
x 5 2x 3 4 x 4
8
x
x 4
2
x 2x 5 3
3
2
x 2x x
x 2x 2 x

10. Пример

8x x 4 8x 2 x 4
A
B
C
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2
x( x 1)
2
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx
x( x 1)2
Представим дробь в виде
2
2
простейших
A( x 1)Разложим
Bx(знаменатель
x суммы
1) Cx
8 xдробей
x 4
правильной дроби на
множители
x 0
A 4
x 1
C 3
Найдем неопределенные
x 1 4коэффициенты
A 2B Cметодом
5
2частных значений переменной
8x x 4
3
2
x 2x x
A 4
B 12
C 3
4 12
3
x x 1 ( x 1)2

11. Пример

4 12
3
x 2x 5
dx
2
x x 1 ( x 1)
2
dx
dx
dx
x dx 2 xdx 5 dx 4 x 12 x 1 3 ( x 1)2
2
x3
3
2
x 5 x 4 ln x 12 ln x 1
C
3
x 1
English     Русский Правила